Wert dieser Reihe berechnen

Question

Hallo, Ich soll den Wert dieser Reihe berechnen

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(2^n-n!)/(2^n*n!) \)

Ich habe versucht mit Indexverschiebung der Ausdruck umzuformen um eine Exponentialfunktion zu bekommen, konnte aber nicht weitermachen.

Answer 1

Hallo,

zerlege die Reihe in zwei und löse jede einzeln $$\begin{aligned}  \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n-n!}{2^n\cdot n!} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^n \cdot n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac {n!}{2^n \cdot n!} \\&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{2^n} \\&= e - \frac1{1- \frac 12} \\&= e - 2\end{aligned}$$siehe auch Eulersche Zahl und geometrische Reihe.

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vielen dank für die schnelle Antwort!