Begrenztes Wachstum - Karpfenteich

Question

Aufgabe:

Ein Karpfenteich hat Platz für höchstens 2000 Karpfen, zu Beginn befinden sich 500 Karpfen darin. Diese vermehren sich jährlich um 10 % der Differenz zwischen aktuellem und maximal möglichen Bestand.

1. Ermitteln Sie eine Funktion für den Bestand in den nächsten Jahren.

2. Berechnen Sie, wann 1900 Karpfen in einen Teich leben.

3. Nach drei Jahren werden 400 Karpfen abgefischt. Beschreiben Sie die weitere Entwicklung des Bestandes.

Ich würde mich über eine Antwort freuen.

Ansatz: Ist die Funktion F(t) = 2000-(2000-500)e^-0,1t richtig?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wenn ja warum ist meine Formel dann falsch, weil so haben wir sie im Buch gelernt?

Stichworte: exponentialfunktion

Aufgabe:

Ein Karpfenteich hat Platz für höchstens 2000 Karpfen, zu Beginn befinden sich 500 Karpfen darin. Diese vermehren sich jährlich um 10 % der Differenz zwischen aktuellem und maximal möglichen Bestand.

Problem/Ansatz:

Meine Formel wäre an der im Unterricht gelernten Formel für begrenztes Wachstum orientiert. Diese lautet: S-(f(0)-S)*e^-kt. Dementsprechend komme ich auf die Formel 2000-(500-2000)*e^-0.1*t.

In der Lösung steht aber die Formel 2000-1500*0.9^t . Das wäre ja dementsprechend 2000-1500*e^ ln(0.9)*t

Wenn ja warum ist meine Formel dann falsch, weil so haben wir sie im Buch gelernt?

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Oft wird begrifflich unterschieden zwischen Wachstumsrate und Wachstumskonstante. Du musst also genau nachlesen, was in  Deinem Buch über die Bedeutung von k geschrieben wurde.

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Die Aufgabe enthält keine Frage und keine Anweisung.

Jedenfalls nicht in dem Teil, den Du uns mitgeteilt hast.

Answer 1

1) Ich hätte einfach \(N(t)=2000-1500\cdot 0.9^t\) als Ansatz gewählt.

2) Wann ist \(2000-1500\cdot 0.9^t=1900\)?

Comments

1 und 2 habe ich soweit fertig, jedoch verstehe ich 3 immer noch nicht..

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Wie viele Fische sind denn im Becken, wenn zu \(t=3\) vierhundert Fische herausgenommen werden?

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Als Ergebnis habe ich nun 2000 raus und was mache ich jetzt damit?

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Nein, \(N(3)-400=506.5\)

Answer 2

e^-0.1 ist (ca.) 0,9, demzufolge ist e^-0.1t  nahezu das Gleiche wie  0,9^t.

Answer 3

In der Klammer ist die Reihenfolge falsch. Es muß (2000 - 500) sein, sonst stimmt das Vorzeichen danach nicht.

Answer 4

1. Ermitteln Sie eine Funktion für den Bestand in den nächsten Jahren.

Diskretes Modell bei einem jährlichen diskreten Wachstum um 10% der Differenz.

f(t) = 2000 + (500 - 2000)·(1 - 0.1)^t = 2000 - 1500·0.9^t

Nur bei einem stetigen Modell bei einer stetigen konstanten Wachstumsrate von 10% zur Differenz würde man wie folgt rechnen.

f(t) = 2000 + (500 - 2000)·e^(- 0.1·t) = 2000 - 1500·e^(- 0.1·t)

2. Berechnen Sie, wann 1900 Karpfen in einen Teich leben.

f(t) = 2000 - 1500·0.9^t = 1900 --> t ≈ 25.70 Jahre

3. Nach drei Jahren werden 400 Karpfen abgefischt. Beschreiben Sie die weitere Entwicklung des Bestandes.

f(3) = 2000 - 1500·0.9^3 = 906.5

906.5 - 400 = 506.5

f2(t) = 2000 + (506.5 - 2000)·0.9^(t - 3)

Skizze

~plot~ (2000-1500·0.9^x)*(x<3)+(2000+(506.5-2000)·0.9^(x-3))*(x>3);[[0|20|0|2000]] ~plot~