Wachstumsprozess e-Funktionen CO2 Emissionen Szenarien

Question

Aufgabe:

Info-Text: Das Kyoto-Protokoll von 1997 schreibt ver- bindliche Ziele für eine Verringerung des Ausstoßes von Treibhausgasen vor. So soll- ten z. B. die Industrieländer den Ausstoß von Kohlendioxid (CO,) um jährlich durchschnitt- lich 5,25% gegenüber dem Stand von 1990 reduzieren. Auf der UN-Klimakonferenz in Quatar im Jahr 2012 wurde die Verlängerung des Kyoto-Protokolls bis zum Jahr 2020 be- schlossen.

Aufgaben:

Eine UN-Kommission hat zwei verschiedene Szenarien A und B für die Entwicklung der weltwei- ten CO,-Emissionen entworfen:

a) Das Szenario A kann durch den Graphen der Funktion f mit f(t) = 0,024*t^2*e^-0,019t+7 beschrieben werden. Dabei wird t in Jahren ab dem Jahr 1950 (t = 0) gemessen und f(t) gibt die jährliche Co,-Emission zum Zeitpunkt t (in Milliarden Tonnen pro Jahr) an.

(1) In welchem Jahr würde nach diesem Modell die größte Co,-Emission stattfinden? Ab welchem Jahr würde sich der jährliche Ausstoß auf weniger als die Hälfte des maximalen Ausstoßes verringern?

Mein Ergebnis:

Jahr: 2055

Hälfte des Max. Ausstoßes..: ab Jahr 2190

(2) Wie viele Tonnen CO, werden nach diesem Szenario in den Jahren 2000 bis 2020 insgesamt ausgestoßen?

Da muss man (denke ich) mit Integralen arbeiten - oberste Grenze: 70 und Unterste Grenze: 50 (-> ermittelt durch die Zeitlichen Abstände ab 1950), aber wie geht es weiter?

b) Das optimistischere Szenario B kann näherungsweise durch den Graphen einer Funktion g der Form g(t) = a*t^2*e^-1/45t +7 beschrieben werden. Dabei entspricht wiederum t=0 dem Jahr 1950.

(1) Dieses Modell geht davon aus, dass der maximale Ausstoß von ca. 31 Milliarden Tonnen im Jahr 2040 erreicht wird. Bestimmen Sie damit den Parameter a von Szenario B.

Hier habe ich zunächst die Ableitung gebildet von g(t), was nun?

(2) Wie viele Tonnen CO, kõnnten in den Jahren 2020 bis 2050 vermieden werden, wenn statt der Entwicklung von Szenario A eine Reduzierung der Co,-Emission gemāß Szenario B umgesetzt werden könnte?

Problem/Ansatz

Also Aufgabe a) (1) habe ich schon, aber bei dem Rest komme ich leider überhaupt nicht weiter. Nur kleine Ansätze. Ich hoffe, jemand kann mir weiter helfen.

Dankeschön

Comments

wie heißt die Funktion
f ( t ) = 0.024 * t^2  * e^(-0,019t+7) ???

---

0,024t² * e^{-0,019t    +7}

^{Die +7 gehören nicht zum ^, sondern stehen extra}

Answer 1

t = 105
1950 * 105 = 2055

(2)
unten = 1950 + 50 = 2000
oben = 1950 + 70 = 2020

Stammfunktion zwischen 2000 und 2020
140 Milliarden Tonnen

Dürft ihr GTR oder CAS nutzen ?
Die Stammfunktion ist ein arger Lindwurm

mfg Georg

Comments

Ja, wir dürfen unseren GTR nutzen.

Können Sie kurz die einzelnen Schritte erklären, wie sie zu diesem Ergebnis gekommen sind, bitte?

Und können Sie mir auch weiter helfen, bitte?

Liebe Grüße und Dankeschön!

---

Ja, wir dürfen unseren GTR nutzen.

Können Sie kurz die einzelnen Schritte erklären, wie sie zu diesem Ergebnis gekommen sind, bitte?

Und können Sie mir auch weiter helfen, bitte?

Liebe Grüße und Dankeschön!

In einer Lösung zu dieser Aufgabe steht 689 Milliarden Tonnen CO2. Ich verstehe das irgendwie nicht.

---

In einer Lösung zu dieser Aufgabe steht 689 Milliarden Tonnen CO2

Das sieht richtig aus

∫ (50 bis 70) f(t) dt = 689.4 Milliarden Tonnen

Bei der e-Funktion würde ich den gemeinsamen e-Term ausklammern. Und vermutlich kann man doch die Dezimalzahlen etwas runden.

---

Ja, wir dürfen unseren GTR nutzen.

Können Sie kurz die einzelnen Schritte erklären, wie sie zu diesem Ergebnis gekommen sind, bitte?

Und können Sie mir auch weiter helfen, bitte?

Liebe Grüße und Dankeschön!

Okay Danke.

Und wie funktioniert b?

---

g(2040-1950) = g(90) = 31

a*90^2*(e^(-2) +7) =31

a= ...

2) Integriere g(t) in den Grenzen von 70 bis 100

---

siehe oben
(2)
unten = 1950 + 50 = 2000
oben = 1950 + 70 = 2020

Ich lese 1950 = 0

---

Wie genau funktioniert das mit den Integrieren mit e-Funktionen? Kann das wer schrittweise darstellen bitte?

---

hier:
https://www.integralrechner.de/

---

Was genau muss ich da eingeben? Die Funktion f(x) dann oder die Stammfunktion F(x)?

---

f(x), denn F(x) ist gesucht! F(x) ist die Stammfkt.

---

Für die Funktion ist mir das zu kompliziert.
Nutze dein GTR. Es ist ja erlaubt.

Für eine einfache Fuktion :
Der Term
e^term kann nur aus aus einer e-Funktion
abgelitten worden sein.

Ich versuche es daher probeweise

( e^term )´ = e^term * ( term ´ )
Da wir nur e^term haben wollen
[ 1 / term ´ * e^term ] ´ = e^term

1/ term ´ * e^term st daher die
Stammfunktion von e^term

Beispel
e ^ (3x)
Probeweise

( e ^ (3x) ) ´

3 * e ^3x
Die " 3 " muß weg.
1/3 * 3 * e^3x = e ^(3x)
Stammfunktion
1/3 * e^(3x)

---

Bei mir kommt da was komplett anderes raus ( Habe es mit a (2) versucht.

Ich verstehe das nicht

---

Korrektur
t ( unten ) = 50
t ( oben ) = 70

a(2) = 689

---

Wie kommt man denn darauf? Schrittweise

---

Habe bei b) (1) als Ergebnis a=0,02 raus

---

Wie kommt man denn darauf ?
Schrittweise

F ( 70) - F(50)

F = 7.0*t - 6998.10468 * e ^(-0.019*t) - 132.9639889*t *e^(-0.019*t) - 1.263157895*t^2 * e^ (-0.019*t)

jetzt überall t = 70
F = 7.0*70 - 6998.10468 * e ^(-0.019*70) - 132.9639889 * 70 *e^(-0.019*70) - 1.263157895*70^2 * e^ (-0.019*70)

und
t = 50 einsetzen
F = 7.0* 50 - 6998.10468 * e ^(-0.019*t) - 132.9639889 * 50 *e^(-0.019*t) - 1.263157895*50^2 * e^ (-0.019*t)

bei b(1) bekomme ich

a = 28279103.58

heraus.

Du hast mit 31 to gerechnet.
Es sind aber 31 Milliarden to.

---

Man muss bei b) (1) Ja nur den Parameter a herausfinden und das ist ja dann 0,02.

Bei b) (2) weiss ich nicht weiter, habe aber die Grenzen für die Integrale berechnet:

2020-1950 = 70

2050-1950 = 100

Wie geht es weiter?

---

Man muss bei b) (1) Ja nur den Parameter a herausfinden und das ist ja dann 0,02.

Den Wert von a darf man sicher etwas genauer angeben.

Für (2) nimmst du doch einfach die Integrale von f(t) und g(t) im Intervall von 70 bis 100 und berechnest die Differenz.

Und obwohl das ein Taschenrechner auch schon ohne Kenntnis der Stammfunktion berechnet hätte ich auch für g(t) noch eine Stammfunktion gebildet.

---

Du hast mit 31 to gerechnet.
Es sind aber 31 Milliarden to.

Korrektur
31 ( in Milliarden to ) ist doch richtig.
a = 0.02189349955

Bei b(2)
Integrationsgrenzen 70 bis 100

Einmal für a.) berechnen
∫ f(t) = 0,024*t2*e^-0,019t+7 dt
zwischen 70 bis 100 = 1224

Einmal für b.) berechnen
∫ g 0.0219 *t^2*e^(-1/45*t) +7
zwischen 70 bis 100 = 921

1224 - 921 = 303  Milliarden to können
eingespart werden

---

Hier die Zusammenfassung von Aufagbe a:)
Die Aufgabe ist eigentlich nur mit GTR oder CAS
zu lösen
Falls was unklar ist dann frage nach

---

Hatte a) schon, aber Dankeschön und danke an alle anderen!!!! Hat mir sehr geholfen und habe jetzt alle Aufgaben erfolgreich gelöst!

Vielen lieben Dank!

---

Gern geschehen.

---

Bis auf Rundungsdifferenzen beim Rechnen ist das richtig. Wenn man einen CAS als Vergleich nimmt dann sieht man das

∫(0.024·t^2·e^(- 0.019·t) + 7, t, 70, 100) = 1234.722524

Ich wundere mich nur, dass du wenn du eh mit einem CAS rechnest, dann nicht genau rechnest.