Aloha :)
Wir leiten in der Funktion$$f(x)=\ln(x+6)\cdot e^{-2x}+\sqrt{x^2-4}+\frac{x+1}{x-4}-3$$die Summanden einzeln ab:
$$\left(\underbrace{\ln(x+6)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-2x}}_{=v}\right)'=\underbrace{\overbrace{\frac{1}{x+6}}^{=\text{äüßere}}\cdot\overbrace{1}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-2x}}_{=v}+\underbrace{\ln(x+6)}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{-2x}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-2)}^{=\text{innere}}}_{=v'}$$$$\phantom{\left(\underbrace{\ln(x+6)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-2x}}_{=v}\right)'}=\frac{e^{-2x}}{x+6}-2e^{-2x}\ln(x+6)$$$$\left(\sqrt{x^2-4}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2-4}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2x}_{=\text{innere}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$$$$\left(\frac{x+1}{x-4}\right)'=\left(\frac{x-4+5}{x-4}\right)'=\left(1+\frac{5}{x-4}\right)'=\left(\frac{5}{x-4}\right)'$$$$\phantom{\left(\frac{x+1}{x-4}\right)'}=\underbrace{\frac{-5}{(x-4)^2}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{1}_{=\text{innere}}=\frac{-5}{(x-4)^2}$$
Wir bauen alles zur ersten Ableitung zusammen:$$f'(x)=\frac{e^{-2x}}{x+6}-2e^{-2x}\ln(x+6)+\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{5}{(x-4)^2}$$
und können die Ableitung an der Stelle \(x=3\) bestimmen:
$$f'(3)=\frac{e^{-6}}{9}-2e^{-6}\ln(9)+\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{5}{(-1)^2}=\frac{1}{9e^6}\left(1-18\ln(9)\right)+\frac{3}{\sqrt5}-5$$Ohne Tachenrechner kann man hier nichts mehr sinnvoll vereinfachen.
