Hallo,
Wie erkenne ich, wann ich Substitution anwenden sollte?
Streng genommen gibt es da kein allgemein gültiges Kochrezept. Das Auflösen von Integralen hat was mit Mustererkennung zu tun. D.h. wenn man ein Integral vor sich hat, was ungefähr so aussieht wie eines welches man bereits gelöst hatte, dann kommt man vielleicht auch diesmal mit der gleichen Methode zurecht.
Bei diesem Integral steht das Substituieren gar nicht an erster Stelle! Das ist eine Bruch mit ganzrationalen Polynomen, wobei der höchste Exponent des Zählers größer ist als der des Nenners. Das bedeutet: der erste Schritt sollte hier eine Polynomdivision sein:$$\begin{aligned} \frac{(x-3)^2}{x+1} &= \frac{x^2-6x + 9}{x+1} \\ &= x - 7 + \frac{16}{x+1} \end{aligned}$$Und dies ist eine Summe und die Summanden lassen sich einzeln integrieren$$\int \frac{(x-3)^2}{x+1} \,\text dx = \int x\,\text dx - \int 7\,\text dx + 16\int \frac{1}{x+1}\,\text dx$$die ersten beiden sind trivial und das dritte Integral hat tatsächlich die Form \(\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,\text dx\). Hier ist$$g(x) = x + 1, \quad g'(x) = 1 \\ f(t) = \frac 1t$$Der Rest ist dann wieder nach Kochbuch.
D.h. wann immer Du einen solchen Bruch vor Dir hast, löse ihn soweit auf, dass nur noch Brüche übrig bleiben, bei denen der Exponent im Nenner größer ist als der im Zähler. Und dann kann man oft (nicht immer) den Ausdruck im Nenner substituieren.
Auch das ist eine Heuristik und das Lösen von Integralen ist ein Sack voller Heuristiken.
