Finde den Real- und Imaginärteil der folgenden Zahl

Question

Aufgabe:

Probleme mit komplizierter Komplexen Zahlen Aufgabe

Problem/Ansatz:

Ich soll den Real- und Imaginärteil der folgenden Zahl "finden" und in kartesischer Form schreiben, komme allerdings nicht weiter, da es ein "neues" Konstrukt für mich ist.

Z=((-1)^(1/3) * (1+i)) / Wurzel(i)

Versuche schon länger alle möglichen Formen, komme aber nciht auf ein Ergebnis.
Mfg Ben

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$z=\frac{(-1)^{1/3}(1+i)}{\sqrt i}=\frac{(i^2)^{1/3}(1+i)}{i^{1/2}}=\frac{i^{2/3}}{i^{1/2}}(1+i)=i^{1/6}(1+i)$$$$\phantom{z}=\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^{1/6}(1+i)=\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{1/6}(1+i)=e^{i\frac{\pi}{12}}(1+i)$$$$\phantom{z}=\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)(1+i)=\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}+i\cos\frac{\pi}{12}+i^2\sin\frac{\pi}{12}$$$$\phantom{z}=\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}+i\left(\sin\frac{\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\right)$$$$\phantom{z}=\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right)+i\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$$$\phantom{z}=\sqrt2\cdot\frac{1}{2}+i\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{\sqrt2}+i\frac{\sqrt6}{2}$$

Comments

Oh wow, mit so einer zeitigen Antwort habe ich nicht gerechnet.

Vielen Dank :)

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Gerne, du musst mal schauen, ob du die Additionstheoreme kennst:

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$$$$\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$

Die sind nicht allgemein bekannt. Vielleicht rechnest du einfach nur bis dahin und tippst dann alles in den Taschenrechner ein.

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Hallo,

ich würde so rechnen:

$$(-1)^{1/3}=-1 \text{ denn } (-1)^3=-1$$

$$\sqrt{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) \text{ denn } \left[\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right]^2=i$$

Also

$$(-1)^{1/3}\frac{1+i}{\sqrt{i}}=-\sqrt{2}$$

Gruß

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Hallo Mathepeter,

Danke für deine Antwort, aber würde das nicht zu einem anderen Ergebnis führen als die vorherige Antwort?

PS. Deine Videos retten mir mein Studium ;):)

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Ja, ein anderes Ergebnis, deshalb der Kommentar, der zugleich eine Frage ist. Mal sehen, ob T noch etwas dazu sagt.

Im übrigen bin ich nicht DER MathePeter

Gruß

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Das ist ein Klassiker. In dem Posting von MathePeter wird die Lösung der Gleichung $x^3=-1$ mit $(-1)^{1/3}$ verwechselt.

Zusätzlich sind in $\mathbb R$ Potenzen mit rationalen Exponenten nur für nicht-negative Argumente sauber definiert. Würde man negative Argumente zulassen, wäre z.B.$$-2=(-8)^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[9]{(-8)^3}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=2$$

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%281%2F3%29%281%2Bi…

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Danke für die Aufklärung :)

Schönen Abend noch

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Hallo,

d.h. bei Wurzeln im Bereich der komplexen Zahlen ist definiert, dass man das kleinste Argument im Bereich $[0, 2 \pi)$ nimmt.

Dein Problembeispiel setzt sich auch ins Komplexe fort. Du hast gerechnet

$$(-1)^{1/3}=(i^2)^{1/3}=i^{2/3}$$

Dann könnte eine andere Rechnung es zweckmäßig machen, den Bruch zu erweitern:

$$(-1)^{1/3}=(i^2)^{1/3}=i^{2/3}=i^{4/6}=(i^4)^{1/6}=1$$

Deshalb würde ich in einem Term, wie in der Aufgabe angegeben, zuerst alle Wurzel-Terme nach der obigen Konvention umformen und dann weiterrechnen, was hier zu demselben Ergebnis führt.

Gruß

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In $\mathbb R$ die Wurzel aus einer Zahl stets als positiv oder null definiert. Deswegen schreibt man z.B. als Lösung der Gleichung $x^2=3$ das Plusminus-Zeichen vor die Wurzel $x=\pm\sqrt3$.

Und du hast völlig Recht, im Komplexen ist das Thema Wurzelziehen noch viel kritischer, weil z.B. $e^{i\cdot0}$ und $e^{i\,2\pi}$ nicht identisch, sondern nur gleich sind. $e^{i\cdot2\pi}$ hat in der Gauß'schen Zahlenebene eine Umdrehung mehr hinter sich als $e^{i\cdot0}$. Beim Wurzelziehen wird die Zahl der Umdrehungen halbiert:$$\sqrt{e^{i\cdot0}}=e^{i\cdot0\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\cdot0}=1$$$$\sqrt{e^{i\cdot2\pi}}=e^{i\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\cdot\pi}=-1$$In $\mathbb C$ kann man sehr leicht unbemerkt über Wurzeln stolpern.

Ähnlich wie bei den reellen Zahlen, gibt es in $\mathbb C$ die Konvention, dass die Wurzel immer die Zahl ist, die in Polardarstellung das kleinstmögliche Argument hat.