Grenzwert einer Folge bestimmen mit nullfolgen

Question

hi, kann mir jemand sagen ob ich das so richtig gemacht habe?

Ich soll den Grenzwert bestimmen

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{n}-x}{2 x^{n}+3 x}, \quad n>2 \)

Da n>2 ist habe ich durch :xⁿ geteilt

Entstehen dann zwei Nullfolgen so das nur 1/2 übrig bleibt?

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Vorsicht, hier soll \(x\to0\) gehen, nicht \(n\to\infty\). Daher hilft dir Kürzen durch \(x^n\) nicht weiter. Forme stattdessen wie folgt um:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^n-x}{2x^n+3x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\left(x^{n-1}-1\right)}{x\cdot\left(2x^{n-1}+3\right)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^{n-1}-1}{2x^{n-1}+3}=\frac{0^{n-1}-1}{2\cdot0^{n-1}+3}=-\frac{1}{3}$$

Comments

Aloha,

danke, dann habe ich das ja genauso gemacht :)

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Du hast \(n\to\infty\) gehen lassen. Es sollte aber \(x\to0\) gehen. Vergleiche das bitte nochmal mit meiner Antwort, ich habe dazu noch was geschrieben.

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Danke nochmal, dass habe ich jetzt dazu berücksichtigt, ergibt so mehr sinn.

Answer 2

(x^n - x)/(2·x^n + 3·x)

Kürze mit x

(x^{n - 1} - 1)/(2·x^{n - 1} + 3)

Wenn man jetzt für x etwas nach bei 0 einsetzt, ist der Grenzwert -1/3.

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Vielen dank :)

Answer 3

Zähler und Nenner durch xⁿ dividieren: \( \frac{1+\frac{x}{x^n}}{2+\frac{3x}{x^n}} \).

Grenzwert für n→∞ ist \( \frac{1}{2} \).

Comments

Danke für die antwort :)