Darstellende Matrix bestimmen | Anfang gesucht

Question

Gegeben sei die lineare Abbildung
\( h: \mathbb{R}_{2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{3}[x] \)
\( p(x) \mapsto p(x+1)-p(x) \)

Ferner seien die Basen \( B_{1}=\left(1, x, x^{2}\right) \) von \( \mathbb{R}_{2}[x] \) und \( B_{2}=\left(x^{3}, x^{2}, x, 1\right) \) von \( \mathbb{R}_{3}[x] \) gegeben.


a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{B_{2}}^{B_{1}}(h) \) von \( h \) an.

Mein Plan bis jetzt:
\( h(1)= p(1+1)-p(1)= 1 \)
\( h(x)= p(x+1)-p(x)= 1 \)
\( h(x^2)= p(x^2+1)-p(x^2)= 1 \)

Ich bin skeptisch. Ist das soweit richtig?

Andere Frage: Wie heißen Aufgaben dieser Art?

Comments

Hallo,

ist nicht alles richtig:

$$p(x):=1 \rightarrow h(p)=p(x+1)-p(x)=1-1=0$$

$$p(x):=x \rightarrow h(p)=p(x+1)-p(x)=x+1-x=1$$

$$p(x):=x^2 \rightarrow h(p)=p(x+1)-p(x)=(x+1)^2-x^2=2x+1$$

Im übrigen kommt mir die Aufgabenstellung merkwürdig vor, weil in den Raum der Polynome vom Grad 3 abgebildet werden soll, aber alle Bilder nur den Grad 1 haben?? Vielleicht braucht man ja das noch irgendwie für einen Teil b)

Gruß

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Hallo,

die Aufgabe hat noch einen Teil b und c.

B)  Entscheiden und begründen Sie, ob h surjektiv ist.

C) Bestimmen Sie die Dimension uns eine Basis des Kerns von h

Wie kommst du auf die "0"? Ich setze doch für x die Werte der Basis B1 ein.

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Ich setze doch für x die Werte der Basis B1 ein

Du setzt für p die Elemente der Basis ein.

Vielleicht ist ein anderer Zugang, wenn Du Dir überlegst, was h(p) ist wenn p ein allgemeines Polynom vom Grad 2 ist, also

$$p(x)=ax^2+bx+c$$

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Achso. Es geht nur um den Exponent.

h(x^2)= (x+1)^2 - (x)^2 = 2x+1