dim(Kern(K) gesucht. Dimensionssatz oder Nullzeilen?

Question

Ich habe hier eine Matrix \( K=\begin{pmatrix}  0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Nun soll ich die dim des Kerns berechnen.

Der Kern ist ja immer die Anzahl der Nullzeilen. Ich habe hier 2.

Aber der Dimensionssatz wurde sagen, dass die dim(Kern(K)) = 1 ist.

Kann ich also wenn ich zwei Nullzeilen habe eine weg lassen oder verstehe ich das etwas vom Prinzip nicht.

Answer 1

Hallo :-)

Für deine Matix \( K=\begin{pmatrix}  0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) suchst du ja alle Vektoren \(v\in \mathbb{R}^3\),

sodass \(K\cdot v=0\in \mathbb{R}^4\) ergibt.

Die letzten Spalten von \(K\) sind linear unabhängig und die erste Spalte ein Nullvektor. Also ist \(\dim(Im(K))=2\) und nach Dimensionssatz folgt

\(3=\dim (\mathbb{R}^3)=\dim(Im(K))+\dim(Ker(K))=2+\dim(Ker(K))\quad \Leftrightarrow \dim(Ker(K))=1\).

Alternativ kannst du auch das LGS \(A\cdot v=0\) lösen und dort sehen, dass \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\) eine Basis von \(Ker(K)\) bildet.

Comments

Hallo,

danke für deine Hilfe!

Dann ist diese Begründung mit den "Nullzeilen" nur bei einer quadratischen Matrix richtig.

Eine frage habe ich noch zum Bild. → Ich hätte alternativ auch die Pivotelemente ablesen können oder geht das normal auch nur bei einer quadratischen Matrix. (Also die Anzahl der unabhängigen Vektoren)

LG

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Ja, das geht auch, denn bei jedem neuen Pivotelement, wächst auch die Dimension des Bildes an.

Answer 2

Aloha :)

Der Kern enthält alle Vektoren, für die die Matrix zu \(\vec 0\) wird:

$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}$$

Man erkennt sofort, dass \(x_3=0\) sein muss, dann muss aber auch \(x_2=0\) sein. An \(x_1\) werden gar keine Anforderungen gestellt, weil es mit den Nullvektor multipliziert wird. Es gibt also unendlich viele "Nullstellen"$$\text{Kern}(K)=\left\{\begin{pmatrix}x_1\\0\\0\end{pmatrix}\in\mathbb R^3\;\bigg|\;x_1\in\mathbb R\right\}$$Wir haben bei der Bildung eine Vektors aus dem Kern genau einen Freiheitsgrad, nämlich die Wahl von \(x_1\). Daher ist die Dimension des Kerns gleich \(1\) und ein möglicher Basisvektor des Kerns ist \((1;0;0)^T\).