Mögliche Erweiterung des Lemmas von Euklid

Question

im Rahmen des Besuchs zahlentheoretischer Vorlesungen an der Uni habe ich mich gefragt, ob sich das Lemma von Euklid ( $p \mid ab \Leftrightarrow p \mid a \lor p \mid b, p \in \mathbb{P}$) auch auf Primzahlpotenzen erweitern ließe, also dass gilt: $p^z \mid ab \Leftrightarrow p^z \mid a \lor p^z \mid b$.

Wir haben den Beweis mithilfe des Lemmas von Bezout geführt, und mir scheint es so zu ein, als ob sich dafür einfach die Primzahlpotenz ebenfalls einsetzen ließe und dasselbe Ergebnis herauskommen würde. Ist das möglich?

Ich habe mir Folgendes gedacht:

Der ursprüngliche Beweis sieht wie folgt aus:

Die Aussage ist äquivalent zu: $p \nmid a \Rightarrow p \mid b$. Da laut Voraussetzung gilt: $p \mid ab$, können nach dem Lemma von Bezout zwei ganze Zahlen $s$ und $t$ gefunden werden, so dass gilt: $sp + ta = 1$.

Mit $b$ multipliziert und umgestellt ergibt das: $p(sb) + (ab)t = b$. Laut Voraussetzung ist $ab = cp$, also gilt: $p(sb) + cpb = b \Leftrightarrow p(sb+cp) = b$. Und damit konnte gezeigt werden, dass $p \mid b \Leftrightarrow b = xp, p \in \mathbb{Z}$.

Würde denn nun etwas dagegen sprechen, wenn für $p$ $p^z, z \in \mathbb{Z}$ eingesetzt werden würde?

Eine Hilfestellung würde mir sehr helfen!

Answer 1

$p^z \mid ab \Leftrightarrow p^z \mid a \lor p^z \mid b$.

Das gilt nicht. Ein Gegenbeispiel ist $p=z=a=b=2$.

Comments

Und wenn der Satz auf ungerade Primzahlen beschränkt wird?

Was ist an der Beweisführung ingesamt falsch?

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Und wenn der Satz auf ungerade Primzahlen beschränkt wird?

$p=a=b=3$, $z=2$.

Was ist an der Beweisführung ingesamt falsch?

Ich schau mal.

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Das würde mir sehr helfen.

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können nach dem Lemma von Bezout zwei ganze Zahlen $s$ und $t$ gefunden werden, so dass gilt: $sp + ta = 1$.

Gilt $p \nmid a$, dann ist $\operatorname{ggT}(p,a) = 1$ weil $p$ eine Primzahl ist.

Aber $p^2$ ist keine Primzahl. Also kann $\operatorname{ggT}(p^2,a) \neq 1$ sein und die Existenz von $s$ und $t$ mit $sp^2 + ta = 1$ kann aus dem Lemma von Bézout nicht geschlussfolgert werden.

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Das ergibt natürlich Sinn.