(1/x)^x ableiten oder vereinfachen

Question

Aufgabe:

Vereinfachen von:

f(x) = (1/x)^x

Problem/Ansatz:

ich versuche diese Aufgabe abzuleiten und versuche diese deshalb zu vereinfachen.

Im Internet bin ich auf diese Vereinfachung gestossen, kann sie mir jedoch nicht erklären: 1/x^x

Answer 1

Ich gehe von x>0 aus, Dann ist

(1/x)^x = 1^x / x^x = 1/x^x.

Answer 2

(1/x)^x =  ( 1^x ) / ( x^x ) =  1 / x^x

Zum Ableiten versuche es mittels e-Funktion darzustellen:

          y = ( 1/x) ^x

==>   ln(y) = x* ln(1/x) = x* (-ln(x)) = -x*ln(x)

==>   y = e^(  -x*ln(x) ) 

Dann mit Kettenregel und den Exponenten mit Produktregel ableiten.

Answer 3

Hallo,

y=(1/x)^x | ln(..)

ln(y)= x ln(1/x) =  x(ln(1) -ln(x)= x *(0 -ln(x)) = -x * ln(x) ->Produktregel

y'/y=  -1 *ln(x) - x *1/x=  -1 *ln(x) - 1 = - ln(x) - 1

y'= (- ln(x) - 1) (1/x)^x