LGS aus einen Vektorunterraum

Question

Aufgabe:

Geben Sie ein Gleichungssystem an, das den gegebenen Unterraum als Lösungsraum hat:
x =(2,2,4,5) + λ*(1,2,1,1)+ µ*(1,2,2,2)

Ansatz:

Meine Idee wäre es eine äquivalente Ebenengleichung zu finden, wo die letzten 2 Einträge des Stützvektors 0 und 0 sind und die letzten 2 EInträge der Richtungsvektoren jeweils (0,1) und (1,0) sind. Aber wie kann ich eine solche Ebenengleichung finden, ohne die eigentliche Ebene zu verändern?

Answer 1

Die beiden gegebenen "Richtungsvektoren"  u und v bilden eine Basis

eines 2-dim Unterraumes U von R^4.

Wenn du jetzt z.B. v - 2u nimmst, ist das (1,2,2,2)-2(1,2,1,1)=(-1 ; -2 ; 0 ; 0 )

und vielleicht auch v-u = ( 0 ; 0 ; 1 ; 1 ) .

Und die beiden bilden auch eine Basis von U,   also gilt

( mit (s,t) statt Lambda mü zum besseren Tippen)

x =(2,2,4,5) + s*(0,0 ,1,1)+ t*(-1 ; -2 ; 0 ; 0 )

==>  x1= 2-t und x2 = 2-2t

      x4=5+s  und  x3=4+s

Und hier kannst du ja s und t eliminieren.

Dann bleibt (rechne besser nach ) nur

-2x1 + x2=-2   und  x3-x4=-1

Comments

Vielen Dank, alles verständlich