Konvergenz, Divergenz oder absolute Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie  die Reihe

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{arctan (\frac{1}{n^(2021)})} \)
ob diese konvergiert bzw. absolut konvergiert oder divergiert.

Problem/Ansatz:

Ist eins davon richtig oder beides falsch?

Text erkannt:

a \( \forall n \geq 2: \quad\left|\frac{1}{n^{2021}}\right|<1 \Rightarrow \begin{array}{l}\text { gilt fur fast } \\ \text { alle }\end{array} \)
wert \( <1 \)
Wurzelkiterium \( \Rightarrow \) konvergenz

Text erkannt:

\( \frac{1}{h^{201}} \)
11.) Quotientenkriterium
\( (n+1) \) spielt es keine \( \Rightarrow \) ab einem gewissen

Answer 1

Hallo

a) der zweite Teil hast du ja das Quotientenkriterium nicht auf den arctan angewandt, also ist das kein Beweis.

b) Wurzelkriterium : da brauchst du $$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1$$ und nur dass der Ausdruck unter der Wurzel <1 ist hilft nicht. (nte Wurzel 0,1 geht gegen 1)

fu brauchst dass arctan unter seiner Tangente bei 0 liegt, d.h. arctan(x)<=x für x>=0

dann kannst du da Wurzelkriterium anwenden.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)\coloneqq x-\arctan(x)\quad;\quad x\in\mathbb R$$Ihre erste Ableitung$$f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}$$ist stets \(\ge0\), daher ist \(f(x)\) monoton wachsend:$$x>0\implies f(x)\ge f(0)\implies x-\arctan(x)\ge0\implies x\ge\arctan(x)$$Für \(N\ge2\) bedeutet dies:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N\arctan\left(\frac{1}{n^{2021}}\right)\le\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^{2021}}<\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^{2}}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=1+\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}-\frac{1}{N}=2-\frac{1}{N}$$Die Reihe konvergiert also nach dem Majorantenkriterium:$$S_\infty<\lim\limits_{N\to\infty}\left(2-\frac{1}{N}\right)=2$$

Da \(\arctan(x)>0\) für \(x>0\) sind alle Summanden positiv, sodass die Reihe insbesondere absolut konvergiert.