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Aufgabe:

Taylorpolynom

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei einer Aufgabe von Analysis helfen.

Sei f: ℝ→ℝ, f(x)= sin(x) und ich soll das Taylorpolynom T3   Dritter Ordnung von f an der Stelle a=0 berechnen.

für eure Hilfe :)

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Hallo,

berechne die Ableitungen bis zur 3.Ableitung und die Werte bei \(x=0\) - also:$$\begin{aligned} f(x) &= \sin(x) & f(0) &=0 \\ f'(x) &= \cos(x) & f'(0)&=1\\ f''(x) &= -\sin(x) & f''(0) &= 0 \\ f'''(x) &= -\cos(x) & f'''(0) &= -1 \\ \end{aligned}$$Die allgemeine Form der Taylorreihe ist$$t_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac 12f''(a)(x-a)^2 + \frac16 f'''(a)(x-a)^3 + \dots $$und nun hilft noch schlichtes Einsetzen bis zur 3.Potenz$$t_3(x) = x - \frac 16 x^3$$Als Graph sieht das dann so aus

~plot~ sin(x);x-x^3/6;[[-3|4|-2|3]] ~plot~

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Dankeschön für die Hilfe! Die Aufgabe geht noch etwas weiter es heißt nämlich „schätzen sie den Fehler ab,den man macht, wenn man sin(0.2) durch T3 (0.2) annähert. Sollte ich mir das anhand eines Graphen am besten anschauen oder wie ?

Ich glaube ich muss es mithilfe der Langrangeschrs Restgliesformel machen . Könnte das passen ?

Ich glaube ich muss es mithilfe der Langrangeschrs Restgliesformel machen . Könnte das passen ?

Ja - das Restglied nach Lagrange lautet allgemein$$R_n(x,a) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$wobei \(f^{n+1}\) die \(n+1\)'te Ableitung ist. Bei \(\sin(x)\) ist aber in jedem Fall $$\left| f^{n+1} (\xi)\right| \le 1\quad \xi \in \mathbb R$$Damit kann man schreiben$$\left|R_3\left(0,2; \, 0\right) \right| \le \frac 1{4!} \left( 0,2 \right)^4 = \frac 1{15000}$$

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