Taylorpolynom Dritter Ordnung berechnen

Question

Aufgabe:

Taylorpolynom

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei einer Aufgabe von Analysis helfen.

Sei f: ℝ→ℝ, f(x)= sin(x) und ich soll das Taylorpolynom T₃   Dritter Ordnung von f an der Stelle a=0 berechnen.

für eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

berechne die Ableitungen bis zur 3.Ableitung und die Werte bei \(x=0\) - also:$$\begin{aligned} f(x) &= \sin(x) & f(0) &=0 \\ f'(x) &= \cos(x) & f'(0)&=1\\ f''(x) &= -\sin(x) & f''(0) &= 0 \\ f'''(x) &= -\cos(x) & f'''(0) &= -1 \\ \end{aligned}$$Die allgemeine Form der Taylorreihe ist$$t_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac 12f''(a)(x-a)^2 + \frac16 f'''(a)(x-a)^3 + \dots $$und nun hilft noch schlichtes Einsetzen bis zur 3.Potenz$$t_3(x) = x - \frac 16 x^3$$Als Graph sieht das dann so aus

~plot~ sin(x);x-x^3/6;[[-3|4|-2|3]] ~plot~

Comments

Dankeschön für die Hilfe! Die Aufgabe geht noch etwas weiter es heißt nämlich „schätzen sie den Fehler ab,den man macht, wenn man sin(0.2) durch T₃ (0.2) annähert. Sollte ich mir das anhand eines Graphen am besten anschauen oder wie ?

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Ich glaube ich muss es mithilfe der Langrangeschrs Restgliesformel machen . Könnte das passen ?

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Ich glaube ich muss es mithilfe der Langrangeschrs Restgliesformel machen . Könnte das passen ?

Ja - das Restglied nach Lagrange lautet allgemein$$R_n(x,a) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$wobei \(f^{n+1}\) die \(n+1\)'te Ableitung ist. Bei \(\sin(x)\) ist aber in jedem Fall $$\left| f^{n+1} (\xi)\right| \le 1\quad \xi \in \mathbb R$$Damit kann man schreiben$$\left|R_3\left(0,2; \, 0\right) \right| \le \frac 1{4!} \left( 0,2 \right)^4 = \frac 1{15000}$$