Zeigen Sie, dass (R,+,*) ein kommutativer Ring ist.

Question

Es sei R = ℚ×ℚ. Wir defnieren eine Addition und Multiplikation
für die Elemente aus R durch
(a, b) + (c, d) = (a + c;,b + d) und (a, b) *(c, d) = (ac, bd):

(a) Zeigen Sie, dass (R,+,*) ein kommutativer Ring ist.
(b) Bestimmen Sie die Einheitengruppe R*. Ist (R,+, *) ein Körper?

Answer 1

Erst mal:  (R,+) ist eine Gruppe.

Abgeschlossenheit ist nach der Def. von + wohl klar, liegt letztlich

an der Abgeschlossenheit von (Q,+).

assoziativ kann man auch auf (Q,+) zurückführen, etwa so:

((a,b) + (c,d)) + (e,f)

= (a + c,b + d)+ (e,f)

= ((a + c)+e ,(b + d)+f )  jetzt in Q !

= (a + (c+e) ,b +( d+f ) ) 

=( a,b) + (c+e) , d+f )

= (a,b) + ( (c,d) + (e,f) ) .

so ähnlich auch Distributivität.

Neutrales Element der Addition ist (0,0)

und inverses von (a,b) ist (-a,-b).

neutral bei mal ist (1,1) und Inverses von (a,b) gibt es

nur, wenn beide ungleich 0 sind [ also kein Körper ! ] und

ist dann ( 1/a , 1/b ) .

Einheiten sind also alle (a,b) mit a*b≠0.

Comments

diese Ring ist kein köper ?können sie einfach erklären?

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z.B. (1;0) hat kein Inverses bzgl. Multiplikation.