Delta-Epsilon Kriterium mit gegebenem x-Wert

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-1} $$
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des \( \varepsilon-\delta \) -Kriteriums, dass die Funktion \( f \) an der Stelle \( x=2 \) stetig ist und berechnen Sie für \( \varepsilon=\frac{1}{2} \) ein passendes \( \delta>0 \).
(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Folgenkriteriums die Stetigkeit der Funktion \( f \) an der Stelle \( x=2 \). Betrachten Sie hierzu alle Folgen \( \left(a_{n}\right) \) für welche \( a_{n} \rightarrow 2 \) gilt. Berechnen Sie
\( f(2), \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right), \quad f\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}\right) \)
und folgern Sie entsprechend dem Folgenkriterium.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir der Definition des Delta-Epsilon Kriteriums bewusst, bin mir aber unsicher wie ich diese Aufgabe mit einem gegebenen x-Wert lösen soll. Ich komme noch zu\( | x -2 | < \delta und | f(x) - 1 | < \frac{1}{2}\). Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

| f(x)-1 |= (x^2 -x-2) / (x-1)  = |x-2|*|x+1| / | x-1|

Man kann ja jedenfalls δ<1 annehmen, dann gilt

| x-2| < 0,5 ==>   1,5 < x < 2,5 

und in diesem Bereich gilt |x+1| / | x-1| < 3 , also setzt

sich # fort zu

|x-2|*|x+1| / | x-1| <  |x-2| * 3  = 3δ 

Damit das <  ε wird , reicht also δ <  ε/3 .

Also ist   |f(x)-1| < ε  erfüllt für  δ=  ε/3 .

Sieht man auch am Graphen, der hat in der Nähe von x=2

eine Steigung mit Betrag < 3.