Lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn λ1v1 + λ2v2... λnvn nicht 0 ergibt, die triviale Lösung ausgenommen, nicht?

Question

Aufgabe:

Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, und sei \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum. Seien \(v_1,...,v_n\)linear unabhängige Vektoren in \(V\) .

Beweisen Sie mit Induktion nach \(n\), dass die Vektoren \(w_i:= \sum\limits_{k=1}^i v_k\) für alle \(i=1,...,n\) unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

ich würde mich über einen Rat freuen. Ich finde den Ansatz zum Induktionsbeweis nicht. Lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn λ₁v₁ + λ₂v₂... λ_nv_n nicht 0 ergibt, die triviale Lösung ausgenommen, nicht?

Weiter - habe ich es richtig verstanden, dass v₁...v_n. linear unabhängig sind und der Beweis erbracht werden soll, dass die Summe beliebiger Vektoren auch linear unabhängig ist?    Seht mir meine wahrscheinlich unbeholfene Anfrage nach, ich stehe ganz am Anfang mit diesen Dingen...

Danke schon einmal!

Answer 1

Hallo :-)

Lineare Unabhängigkeit ist gegeben, wenn λ1v1 + λ2v2... λnvn nicht 0 ergibt, die triviale Lösung ausgenommen, nicht?

Du meinst wohl das richtige, hast es aber mega kompliziert ausgedrückt.

\(v_1,...,v_n\) sind linear unabhängig, falls aus

\(\lambda_1\cdot v_1+...+\lambda_n\cdot v_n=0\) die Gleichheit \(\lambda_1=...=\lambda_n=0\) folgt.

dass die Summe beliebiger Vektoren auch linear unabhängig ist?

Nein. Du sollst induktiv zeigen, dass die Summen \(\sum\limits_{k=1}^i v_k\) für alle \(i=1,...,n\) lineare unabhängig sind.

Comments

Ah, danke! Das war ein produktiver Schub, jetzt versuche ich mich mal am Induktionsbeweis :-)

---

Gut. Mach das! :-)

---

jetzt versuche ich mich mal am Induktionsbeweis

Beweise es einfach, mach dir um das Wort "Induktion" keine Sorgen.

---

Haha, wenn das so einfach wäre ;-) Aber steter Tropfen höhlt den Stein, ich will es ja aktiv verstehen :-)