Für welches N∈N gilt das erste Mal an − 2/3 < 0,01?

Question

Aufgabe:

a) Für welches N∈N gilt das erste Mal an − 2/3 < 0,01?

Text erkannt:

Sei \( a_{n}:=\frac{2 n+6}{3 n+8} \in \mathbb{R} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

b) Gilt für allen n ≥ N die Ungleichung |an − 2/3| < 0,01?

Answer 1

Es soll gelten$$\begin{aligned}&&\left\lvert a_n-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\left\lvert\frac{2n+6}{3n+8}-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\frac2{9n+24}&<\frac1{100}\\\iff&&n&>\frac{176}9\end{aligned}$$Also ist \(n=20\) das erste, welches die Ungleichung erfüllt. Für alle größeren \(n\) gilt die Ungleichung natürlich auch.

Answer 2

(2n+6)/(3n+8) - 2/3< 0.01

(2n+6)/(3n+8)< 1/100+2/3

(2n+6)/(3n+8)< 203/300

300*(2n+6) < 203*(3n+8)

600n+1800 < 609n+1624

176 < 9 n

n > 176/9 = 19,55555...

n=20

:-)