Zeigen Sie dass sich die Ebene E in Koordinatenform durch die Gleichung E: 12x+2y+11z-1=0 darstellen lässt

Question

Aufgabe:

Ein Parallellogramm ABCD A(6;3;-7),B(0;6;-1), C(-3;2;3), D(3;-1;-3) liegt in der Ebene E. Geben Sie die Gleichung der Ebene E in Parameterform an. Zeigen Sie dass sich die Ebene E in Koordinatenform durch die Gleichung E: 12x+2y+11z-1=0 darstellen lässt

Answer 1

Eine Parameterform der Ebene ist

        \(\vec{x} = \vec{OA} + r\cdot \vec{AB} + s\cdot \vec{AC}\).

Die Koordinatenform bekommst du aus der Normalenform

        \(\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n} = 0\)

indem du die Vektorsubtraktion und das Skalaprodukt ausrechnest.

In obiger Normalenform ist \(\vec{a}\) Ortsvektor eines Punktes der Ebene und \(\vec{n}\) ist senkrecht zu Ebene.

Answer 2

\( \vec{AB} \)=\( \begin{pmatrix} -6\\3\\6 \end{pmatrix} \)

\( \vec{AC} \)=\( \begin{pmatrix} -9\\-1\\10 \end{pmatrix} \)

Parameterform: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 6\\3\\-7 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} -6\\3\\6 \end{pmatrix} \)+j·\( \begin{pmatrix} -9\\-1\\10 \end{pmatrix} \).

\( \vec{AB} \)×\( \vec{AC} \)=\( \begin{pmatrix} 36\\6\\33 \end{pmatrix} \)

Normalenform: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 36\\6\\33 \end{pmatrix} \)=3

Koordinatenform nach Skalarprodukt und Division durch 3.

Comments

Warum \( \begin{pmatrix} 3\\3\\-7 \end{pmatrix} \) als Ortsvektor?

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Sollte \( \begin{pmatrix} 6\\3\\-7 \end{pmatrix} \) heißen.

Answer 3

Parameterform: $$E: \vec{x}=\vec{0A}+t \cdot\vec{AB}+s \cdot\vec{AC}$$

Dann Vektorprodukt von \( \vec{AB}  und \vec{AC}\) bilden und zeigen:

Das ist kollinear zu \(  \begin{pmatrix} 12\\2\\11 \end{pmatrix} \) , und

dann noch zeigen, dass die Koordinaten von A die Gleichung

12x+2y+11z-1=0 erfüllen.

Answer 4

Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

A(6/3/-7) → Ortsvektor a(6/3/-7)

B(0/6/-1) → Ortsvektor b(0/6/-1)

C(-3/2/3) → Ortsvektor c(-3/2/3)

eingesetzt

E: x=(6/3/-7)+r*[(0/6/-1)-(6/3/-7)]+s[(-3/2/3)-(6/3/-7)]

Vektorielle Parametergleichung der Ebene E: x=a+r*u+s*v

u=(0/6/-1)-(6/3/-7)=(-6/3/6)

v=(-3/2/3)-(6/3/-7)=(-9/-1/10)

Normalengleichung der Ebene E: (x-a)*n=0

Normalenvektor aus u und v

am einfachsten über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)  → a kreuz b=c

(-6/3/6) kreuz (-9/-1/10)  Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) 

n(36/6/33)  kann man kürzen → dividiert durch 3  → n(12/2/11)

eingesetzt

[(x/y/z)-(6/3/-7)]*(12/2/11)=0

ausgerechnet mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

x*12+y*2+z*12-1*(6*12+3*2-7*11)=0

12*x+2*y+11*z-72-6+77=0

12*x+2*y+11*z-1=0

Hinweis:Den Normalenvektor n(nx/ny/nz) kann man auch über das

Skalarprodukt u*v=ux*vx+uy*vy+uz*vz=0  berechne#

Der Normalenvektor n(nx/ny/nz) steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

wir setzen nz=1  und haben dann 2 Unbekannte,nx und ny und 2 Gleichungen

1) ux*nx+uy*ny=-1*uz

2) vx*nx+vy*ny=-1*vz

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.