Geometrische Anwendungen Geradengleichung

Question

Es handelt sich um eine gerade und rechteckige Pyramide mit den Punkten A=(4|5|3), B=(6|6|2), C=(x|2|0).

Man soll sich vom Punkt C x ausrechnen, das habe ich gemacht und mir ist 2 rausgekommen.

Dann soll man sich den Punkt D ausrechnen, das habe ich auch gemacht D=(5|-4|6).

Dann soll man sich die Spitze ausrechnen und genau da weiß ich nicht wie ich weiter machen soll.

Anschließend soll man sich den Winkel, den die Seitenfläche ABS mit der Basis einschließt.

Kann mir bitte jemand bei diesen 2 angaben helfen ?

Vielen Dank im Voraus

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Die Höhe beträgt 6 Einheiten.

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Hilf Dir eine 3D-Ansicht?

Du musst auf das Bild klicken und dann die Szene mit der Maus rotieren. Nur so bekommst Du eine räumliche Vorstellung von der Szene!

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Ich weiß nicht, jetzt bin ich von den ganzen Losungsvorschlägen sehr verwirrt und komme aber dennoch nicht weiter, ich sitze an dem Beispiel schon den ganzen Tag und weiß nicht wo ich den Fehler gemacht habe.

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jetzt bin ich von den ganzen Losungsvorschlägen sehr verwirrt

das ist nicht die Antwort auf meine Frage (s.o.)

mache Dir einen Plan:

1.) Punkt C berechnen

2.) Punkt D berechnen

3a) Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche bestimmen

3b) Normalenvektor \(\vec n\) der Grundfläche berechnen

3c) \( \vec n_6\) der Länge 6 berechnen

3d) Spitze \(S= M + \vec n_6\)

4a) Normalenvektor \(\vec m\) der Seitenfläche ABS berechnen

4b) Winkel zwischen \(\vec n\) und \(\vec m\) ist der Winkel zwischen den Flächen

Wo genau kommst Du nicht weiter?

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Ok, C habe ich mir berechnet, da ist mir aber etwas anderes rausgekommen als den anderen und da entsteht mein Problem, da jetzt meine ganzen Rechnungen nicht stimmen.

Ich habe mir C so ausgerechnet: Vektor aus AB mal Vektor aus BC müssen 0 sein und ist mir bei x=2 rausgekommen

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Ich weiß schon was ich falsch gemacht habe: meine Angabe stimmt nicht. A = (9,0,8)

Kann ich das nicht bearbeiten oder die Frage noch mal stellen?

Answer 1

Hallo,

dann sieht das ganze so aus:

ich mache mal bei Punkt 3b) "Normalenvektor \(\vec n\) berechnen" weiter. Der berechnet sich aus$$\vec n = \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{pmatrix}-3\\ 6\\ -6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36\\ 18\\ 36\end{pmatrix}$$Die Länge von \(\vec n\) ist$$|\vec n| = \sqrt{36^2 + 18^2 + 36^2} = 54$$Du benötigst aber einen Vektor, der die Länge 6 hat. Also$$\vec n_6 = 6 \frac {\vec n}{|\vec n|} = \frac 6{54}\begin{pmatrix}-36\\ 18\\ 36\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 4\end{pmatrix} $$Und so kommst Du zur Spitze \(S\)$$S = M + \vec n_6 = \begin{pmatrix}5,5\\ 1\\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\ 2\\ 4\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}1,5\\ 3\\ 8\end{pmatrix}$$Der Normalenvektor \(\vec m\) der Ebene \(ABS\) wird ebenfalls via Kreuzprodukt bestimmt$$\vec m = \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix}18\\ 45\\ 36\end{pmatrix}, \quad |\vec{m}| = \sqrt{3645}$$und der Cosinus des Winkels \(\alpha\) zwischen den beiden Flächen ist$$\cos \alpha = \frac{\vec n \cdot \vec m}{|\vec n|\cdot |\vec m|} \approx 0,4472 \\ \implies \alpha \approx 63,4°$$

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Vielen Vielen Dank, das hat mir jetzt sehr geholfen!!!!

Answer 2

Man soll sich vom Punkt C x ausrechnen, das habe ich gemacht und mir ist 2 rausgekommen.

Korrekt ist \(x=7\), weil nur dann die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) senkrecht zueinander sind.

Dann soll man sich die Spitze ausrechnen

Höhenfusspunkt ist \(\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AC}\).

Die Spitze der Pyramide liegt deshalb auf der Geraden

        \(\vec{x} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AC} + r\cdot\left(\vec{AB}\times\vec{AC}\right)\)

Wo genau, kann aufgrund der fehlenden Höhe nicht genau gesagt werden.

den Winkel, den die Seitenfläche ABS mit der Basis einschließt.

Bestimme den Mittelpunkt \(M_{AB}\) der Seite \(AB\)  und den Mittelpunkt \(M_{CD}\) der Seite \(CD\). Der gesuchte Winkel ist dann der zwischen den Vektoren \(\vec{M_{AB}M_{CD}}\) und \(\vec{M_{AB}S}\).

Setze in die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren ein und rechne aus.

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Aber ich Lösungsbuch ist für x auch 2 rausgekommen.

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Wenn \(x=2\) ist, dann ist \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}\neq 0\) und somit hat das Viereck \(ABCD\) bei \(B\) keinen rechten Winkel und ist damit auch kein Rechteck.

Die Höhe beträgt 6 Einheiten.

Setze \(r = \frac{6}{\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|}\) in obige Parameterdarstellung ein.

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Lösungsbuch ist für x auch 2

Wie sollen de Eckpunkte des Rechtecks denn angeordnet sein. Üblich ist, ABCD gegen den Uhrzeigersinn.

D-----C

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A------B

Hast du die Punkte denn richtig angegeben oder ist irgendwo ein Minus falsch?

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Ich hab alles richtig gemacht, denke ich zumindest.

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Ich habe auch alles richtig gemacht. Und jetzt?

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Ich habe die Angabe leider falsch geschrieben. A = (9,0,8)

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Ich hab alles richtig gemacht

Ich habe die Angabe leider falsch geschrieben. A = (9,0,8)

Scherzkeks...

☺

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Ist halt so, passiert mal

Answer 3

Die Spitze erreichst du vom Mittelpunkt M des Quadrates ABCD aus, wenn du von M auf dem Vektor \( \vec{AB} \) ×\( \vec{AC} \) so weit fortschreitest, wie die Höhe der Pyramide angibt. Diese Höhe hast du nicht genannt.

Answer 4

A=(4|5|3), B=(6|6|2), C=(x|2|0).

AB=[2;1;-1]

BC=[x-6;-4;-2]

0=AB*BC=2x-12-4+2=2x-14 → x=7

BC=[1;-4;-2]=AD

OD=OA+AD=[5;1;1]

Mittelpunkt M des Rechtecks:

OM=0,5(OA+OC)=[5,5;3,5;1,5]

AB × AD = [2;1;-1] × [1;-4;-2]=[-6;3;-9]=n

Nun noch n auf die Länge 6 kürzen und zu OM addieren.

:-)

Comments

Ok danke und wie weiter ?

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Das steht doch schon in den anderen Antworten und Kommentaren.

Wie würdest du denn weitermachen?

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Nun noch n auf die Länge 6 kürzen und zu OM addieren. - Heißt das ich soll n durch 6 dividieren ? Da komme ich aber nicht zur richtigen Lösung . Ansonsten weiß ich nicht wie weiter