Zeigen von Häufungspunkte und Limes Superior

Question

Hallo in die Mathe Community, ich hoffe es kann mir jemand bei folgender Aufgabenstellung helfen:

Vielen Dank im Voraus.

Die Aufgabenstellung ist wie folgt:

Sei (an)n≥0 eine reelle Folge.

1) Es soll gelten, dass e {an | n ∈ ℕ} = ℚ.

Es soll gezeigt werden, dass jede Zahl a ∈ ℝ ein Häufungspunkt von (an)n ≥ 0 ist.

Es darf verwendet werden, dass jedes Intervall [a, b] mit a < b unendlich viele rationale
Zahlen enthält.

2)  Es ist definiert:

lim sup an:= inf   sup an
n→∞            k∈ℕ  n≥k

Es soll gezeigt werden, dass lim sup n→∞ an = a ∈ ℝ existiert, falls (an)n ≥ 0 beschränkt ist.

Außerdem soll gezeigt werden, dass in diesem Fall a der größte Häufungspunkt der Folge ist.

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Comments

Hallo,

ich verstehe Bedingung 1) nicht.

Gruß Mathhilf

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Hallo Mathef, das e bei der 1 bedingung muss weg. Sorry Schreibfehler von mir :( vg

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D.h. die Folge $(a_n)$ ist eine komplette Abzählung der rationalen Zahlen?

Dann ist die Aussage mit dem Hinweis schon erledigt: Wenn a eine reelle Zahl ist und $\epsilon>0$; dann enthält das Intervall $[a-\epsilon,a+\epsilon]$ unendliche viele rationale Zahlen, d.h. unendliche viele Folgenglieder. Also ist a Häufungspunkt.

Und die 2. Aufgabe wäre dann eine separate Aufgabe?

Gruß Mathhilf

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Ja genau, die 2 ist eine separate Aufgabe.

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Hast du auch eine Idee wie die Aufgabe 2 zu lösen ist Mathhilf?

Answer 1

Hallo,

sei $B_k:=\{a_n \mid n \geq k\}$ und $b_k:= \sup B_k$. Da die Folge $(a_n)$ beschränkt ist, sind die $b_k$ wohldefiniert. Es gilt $B_{k+1} \sube B_k$, daher ist die Folge $(b_k)$ monoton fallend, nach unten beschränkt. Also existiert $a:=\inf b_k$ und ist eine reelle Zahl.

a hat 2 Eigenschaften:

1. Für alle $\epsilon>0$ gilt: Nur endlich viele Folgenglieder $a_n$ liegen rechts von $a+\epsilon$. Denn aufgrund der Konstruktion von a gibt es ein k, so dass

$$a \leq b_k <a+\epsilon \Rightarrow \forall n \geq k: a_n \leq b_k <a+\epsilon$$

2. Für alle $\epsilon>0$ gilt: Unendlich viele $a_n$ liegen rechts von $a-\epsilon$. Denn wenn es nur endlich viele geben würde, so gäbe es einen Index k mit

$$\forall n \geq k : a_n \leq a-\epsilon \Rightarrow b_k \leq a- \epsilon$$

Die erste Eigenschaft bewirkt, dass es keinen größeren Häufungspunkt als a geben kann (der müsste ja in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder haben). Zusammen mit der 2. Eigenschaft folgt, dass a ein Häufungspunkt ist.

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe :)