Wie setzte ich für den Funktionsterm an?

Question

Aufgabe:

Und wenn es heißt Aufgabe: Bestimmen sie den Funktionsterm f(x) derjenigen ganzrationalen Funktuon dritten Grafes,...
c) deren Graph im Ursprung die x-Achse berührt und deren Tangente im Punkt (1|-1) die Steigung 24 hat

Formale Bedingungen
1. f(0)=0
2. f(1)=-1
3. f‘(1)=0
4. ? Wie gibt man an dass der Punkt (1|-1) die Steigung 24 hat
Problem/Ansatz:

Hier weiß ich gar nicht wie ich starten muss....bitte Hilfe, Ansätze, Lösungswege o.ä.

Answer 1

f(0)= 0

f'(0)= 0

f(1)= -1

f'(1) =24

Berühren bedeutet, dass die Steigung an der Stelle gleich ist   der Steigung der x-Achse ist.

Diese beträgt 0.

Answer 2

Formale Bedingungen

1. f(0)=0
2. f '(0)=0
3. f(1)=-1
4. f '(1)=24

Ansatz:

(I) f(x)=ax³+bx²+cx+d

(II) f '(x)=3ax²+2bx+c

1. und 3. in (I) einsetzen.

2. und 4. in (II) einsetzen

Das ergibt ein System von vier Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c und d.

Die Lösungen in (I) einsetzen.

Answer 3

Aloha :)

Wenn ein Graph die \(x\)-Achse nur berührt und nicht schneidet, muss die Vielfachheit der Nullstelle gerade sein, also eine doppelte, vierfache, sechsfache... Nullstelle. Da wir hier ein Polynom dritten Grades haben, muss bei \(x=0\) also eine doppelte Nullstelle vorliegen. Die Funktionsgleichung muss also den Faktor \(x^2\) enthalten. Daher reicht der Ansatz:$$f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-b)=ax^3-abx^2$$

Der Punkt \((1|-1)\) liegt auf dem Graphen, daher ist$$-1=f(1)=a(1-b)=a-ab\implies ab=a+1$$

Die Steigung im Punkt \(x=1\) ist \(24\):$$24=f'(1)=\left[3ax^2-2abx\right]_{x=1}=3a-2ab\implies 2ab=3a-24$$Wir fassen beide Gleichungen für \(ab\) zusammen$$2(a+1)=2ab=3a-24\implies 2a+2=3a-24\implies a=26\implies ab=27$$

Die gesuchte Funktion lautet also:$$\boxed{f(x)=26x^3-27x^2}$$

~plot~ 26x^3-27x^2 ; {0|0} ; {1|-1} ; 24x-25 ; [[-0,6|1,5|-5|10]] ~plot~