Ist der folgende Reihe Konvergent?

Question

Aufgabe:

Ist der folgenden Reihe konvergent ? Berechnen Sie, wenn möglich, die
Summe!

\( \sum\limits_{k=3}^{\infty}{\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k-2}} \)

Problem/Ansatz:

Ist es Konvergent oder Divergent?

Answer 1

Aloha :)

$$S=\sum\limits_{k=3}^\infty\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k-2}\right)=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k+1}-\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k-2}=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k+1}-\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+3)-2}$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k+1}-\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k+1}-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k+1}\right)$$$$\phantom{S}=-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=-\frac{6+3+2}{6}=-\frac{11}{6}$$

Answer 2

1/4-1+1/5-1/2+1/6-1/3+1/7-1/4 ...

Es fällt alles weg bis auf -1  -1/2-1/6 = -11/6 = Summenwert