Zeigen Sie dass das Polynom in Z_17 irreduzibel ist durch folgende Methode

Question

$$\text{ Zeigen Sie dass }p(x)=x^{4}+7\text{ in }\mathbb{Z}_{17}\text{ irreduzibel ist durch die folgende Methode: }$$

$$\text{ (i) Erstellen Sie eine Tabelle der Werte von }x,x^{2}\text{ und }x^{4} \text{ in }\mathbb{Z}_{17}\text{ . }$$

$$\text{ (ii) Folgern Sie, dass }p\text{ keine Nullstelle hat. }$$

$$\text{ (iii) Nehmen Sie an, dass }p\text{ nicht irreduzibel ist. }$$

$$\text{ - Folgern Sie: }p(x)=(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+7b^{-1})\text{ für irgendwelche }a,b\in \mathbb{Z}_{17}\text{ mit }b\neq0.$$

$$\text{ - Zeigen Sie, dass es keine solche }a\text{ und }b\text{ in }\mathbb{Z}_{17}\text{ gibt. }$$

Answer 1

x            x²                   x⁴ 
0               0                      0
1               1                       1
2               4                     16
3               9                   81=13 (81=4*17+13)
4              16                     1
5               8                     13
6              2                       4

etc.

Betrachte für jede Zeile der Tabelle x⁴ + 7 also

7
8
16+7=6
13+7=3

etc. Es entsteht nie 0.

(iii) Da es keine Nullstelle gibt, gibt es keinen linearen Faktor,

also könnte nur Zerlegung in 2 quadratische Faktoren klappen.

Aus (x² + ax +b ) * (x² + cx + d) = x⁴ +7  folgt

durch Koeffizientenvergleich c=-a und d=7*b^(-1) .

Und mit der Tabelle zeigst du wieder, dass es solche Werte

nicht gibt.