Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E.

Question

Aufgabe: Abstand Punkt-Ebene

Problem/Ansatz:

Eine Ebene E hat den Normalenvektor n = (-0,5 l 1 l -1 ) und geht durch den Punkt P(6 l 4 l-1).
Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E.

Weiß leider absolut nicht was zu tun ist. Würde um Hilfe mit Lösungsweg bitten :)

Answer 1

Kennst du die Hessesche Normalenform?

\(\vec n_0 \vec x = d\)

|d| ist dann der gesuchte Abstand.

\(\vec n_0\) ist der Normaleneinheitsvektor. Den erhältst du, indem du den gegebenen Normalenvektor durch seinen Betrag 3/2 dividierst, bzw. mit 2/3 multiplizierst.

Wenn du dann noch den Ortsvektor von P für \( \vec{x} \) einsetzt, kannst du d ausrechnen.

\( \dfrac 2 3 \cdot\begin{pmatrix} -0,5\\1\\-1\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} 6\\4\\-1\end{pmatrix} =\dfrac 4 3=d\)

:-)

Answer 2

einfach aus´n Buch abschreiben

Abstand Ebene → Punkt

d=|(p-a)*no|

bei dir P(0/0/0) → Ortsvektor p(0/0/0)

A/6/4/-1) → Ortsvektor a(6/4/-1)

Normalenvektor Betrag |n|=Wurzel((-0,5)²+1²+(-1)²)=1,5

Normaleneinheitsvektor no(nox/noy/noz)  Betrag |no|=1=Wurzel(nox²+noy²+noz²)

nox=nx/|n|=-0,5/1,5=-1/3

noy=ny/|n|=1/1,5=2/3

noz=nz/|n|=-1/1,5=-2/3

no[(-1/3)/(2/3)/(-2/3)]

eingesetzt

Abstand d=|[(0/0/0)-(6/4/-1)]*[(-1/3)/(2/3)/(-2/3)]|

mit den Skalarprodukt ausrechnen → a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

-1*[6*(-1/3)+4*2/3-1*-2/3]=-1*(-2+8/3+2/3)=2-10/3=6/3-10/3=-4/3

d=|4/3|

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