Potenzreihe Konvergenzbereich bestimmmen

Question

Aufgabe:

welchen Konvergenzbereich besitzt die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) \( \frac{(x-1)ⁿ}{n!} \)

Ich verstehe nicht wie ich das Bildungsgesetz a_n bestimmen kann,

ich weiß aber aus der Lösung: es muss (x-1)^{n aber Warum}

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n\,\frac{(x-1)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n}{n!}\,(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n-1)!}\,(x-1)^n$$$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-1)^n\quad;\quad a_n\coloneqq \frac{1}{(n-1)!}$$

Der Konvergenzradius \(r\) ist der Grenzwert für \(n\to\infty\) von$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\left|\frac{\frac{1}{(n-1)!}}{\frac{1}{n!}}\right|=\frac{n!}{(n-1)!}=n\to\infty$$Der Konvergenzradius ist daher \(|r|=\infty\), d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\).