Finde den Grenzwert heraus

Question

Aufgabe:

an = lim(n→∞) (n*√(n+13/n+9) −(n+7)

Finde den Grenzwert heraus

Problem/Ansatz:

Habe durch einen Online Grenzwertrechner herausgefunden, dass der Grenzwert -5 ist, aber probiere seit 2 Tagen herauszufinden wie man darauf kommt.

Würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand helfen kann,

Gruß Tim

Comments

Text erkannt:

\( f_{n}=n \sqrt{1+\frac{4}{n+9}}-(n+7) \)

Das hier ist die ursprüngliche Aufgabe, hab die nur umgeformt oben.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$a_n=n\sqrt{1+\frac{4}{n+9}}-(n+7)=n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}-(n+7)$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}-(n+7)\right)\left(n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}+(n+7)\right)}{n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}+(n+7)}=\frac{\left(n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}\right)^2-(n+7)^2}{n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}+(n+7)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^2\,\frac{n+13}{n+9}-(n^2+14n+49)}{n\sqrt{\frac{n+13}{n+9}}+(n+7)}=\frac{n^2(n+13)-(n^2+14n+49)(n+9)}{n\sqrt{(n+13)(n+9)}+(n+7)(n+9)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^3+13n^2-(n^3+14n^2+49n+9n^2+126n+441)}{n\sqrt{(n+13)(n+9)}+(n+7)(n+9)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-10n^2-175n-441}{n\sqrt{(n+13)(n+9)}+(n+7)(n+9)}=\frac{\frac{-10n^2-175n-441}{n^2}}{\frac{n\sqrt{(n+13)(n+9)}}{n^2}+\frac{(n+7)(n+9)}{n^2}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-10-\frac{175}{n}-\frac{441}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{13}{n}}\sqrt{1+\frac{9}{n}}+\left(1+\frac{7}{n}\right)\left(1+\frac{9}{n}\right)}\to\frac{-10-0-0}{1\cdot1+1\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5$$

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Vielen Dank für die Antwort, da wäre ich nie drauf gekommen!

Answer 2

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f_n=-5.    .......

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Der Grenzwert sollte -5 sein, das hat mir mein Lehrer bestätigt, aber ich suche immer noch den Lösungsweg..

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Ja, ich hatte mich verschrieben (jetzt korrigiert).

Ich hatte den Graphen für sehr große Zahlen gezeichnet.

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Alles klar, hast du denn eine Idee wie man auf diese Lösung kommt ohne Hilfsmittel?

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Siehe Tschakabumba.