Zusammengesetzte Funktion (f(x) = e1-x + x-2 )

Question

f(x) = e^1-x + x-2

Bilde die Ableitung der Funktion

unser Thema ist eigentlich Produktregel und Kettenregel aber ich sehe kein Produkt und habe daher keinen Ansatz

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es um die Anwendung der Kettenregel:$$f'(x)=\left(e^{1-x}+x-2\right)'=\left(e^{1-x}\right)'+\left(x-2\right)'=\underbrace{e^{1-x}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\overbrace{(1-x)'}^{=-1}}_{=\text{innere Abl.}}+\overbrace{(x-2)'}^{=1}$$$$f'(x)=e^{1-x}\cdot(-1)+1=-e^{1-x}+1$$

Wenn du jetzt noch die Extremstellen suchst, musst du \(f'(x)=0\) setzen:$$\left.f'(x)=0\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.-e^{1-x}+1=0\quad\right|+e^{1-x}$$$$\left.1=e^{1-x}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(1)=\ln\left(e^{1-x}\right)\quad\right|\ln(1)=0\,\big|\,\ln(e^{1-x})=1-x$$$$\left.0=1-x\quad\right|+x$$$$x=1$$

Answer 2

Hallo,

leite ganz "normal" ab:

\(f(x)=e^{1-x}\\ f'(x)=-e^{1-x}-1\)

Comments

lautet dann die 2. Ableitung

f´´(x) = e^1-x - 1 ?

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-1 fällt weg, also nur \(f''(x)=e^{1-x}\)

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Okay danke!

Im nächsten Schritt müsste ich die Gleichung = 0 setzen (Extremstellen berechnen) und stoße wieder auf meine Schwierigkeiten:

- e^1-x = 0

ich weiß zwar, dass ich mit dem ln arbeiten muss, aber das Minus vor dem e verwirrt mich wieder

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f(x)=e^(1-1*x)+1*x-2

f´(x)=-1*e^(1-1*x)+1

Konzentrier dich !!

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und wieso jetzt doch keine -1?

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\(-e^{1-x}-1=0\\ -e^{1-x}=1\\ e^{1-x}=-1\)

also keine Extremstellen

Aber da Monty ein anderes Ergebnis hat, sehe ich mir das besser noch einmal an.

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+x-2 abgeleitet ergibt +1.

:-)

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wir haben hier eine Funktion der Form

f(x)=f1(x)+f2(x)-f3(x)

Summenregel f´(x)=f´1(x)+/-f´2(x)+/-...+/-f´n(x)

f1(x)=e^(1-1*x) → f´(1(x)=-1*e^(1-1*x)

f2(x)=1*x → f´2(x)=1

f3(x)=2*x⁰ → f´3(x)=0

f´(x)=-1*e^(1-1*x)+1   → ist f´(x)=f´(x)+f´2(x)-f´3(x)

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Das sagt mir ganz deutlich: Ich lasse es jetzt besser, denn mit meiner Konzentration ist es offenbar auch nicht mehr weit her.

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@Silvia

:-)

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Hinweis:Das ganze Ableiten ist nur abschreiben der Differentationsregeln.

Immer Schritt für Schritt vorgehen und niemals etwas auswendig aufschreiben.

Die Rechnungen sind nicht besonders schwer,aber aufwendig und das Risiko für Rechenfehler ist hoch.

Macht man einen Fehler,so ist der Zeitaufwand für die Fehlersuche viel höher,als wenn man langsam rechnet und dafür aber fehlerfrei.

Die Ableitung f´(x)=.. kann man mit den

Differenzenquotienten m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1 überprüfen,wenn man das Intervall x2-x1=0,01 wählt

dann gilt m=Δy/Δx≈dy/dx

Beispiel: f(x)=0,5*x² → f´(x)=1*x=x

Steigung m bei der Stelle xo=1

f´(xo)=f´(1)=1

y1=f1(1)=0,5*1²=0,5    → y1=0,5 und x1=1

y2=f2(1,01)=0,5*1,01²=0,51005

m=(0,51005-0,5)/0,01=1,005  also schon sehr genau

Überprüfe so deine gesamten Ableitungen auf Richtigkeit

Answer 3

f1(x)=e^(1-x) mit der Kettenregel

z=1-1*x → z´=dz/dx=-1

f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)

f´1(x)=z´*f´(z)=-1*e^(1-x)

f´(x)=f´1(x)+f´2(x)-f´3(x)

f´(x)=-1*e^(1-x)+1

Infos vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

Differentationsregeln/elementare Ableitungen Diese stehen im Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt. Potenzregel \( \left(x^{k}\right)^{\prime}=k^{*} x^{k-1} \) mit \( x \) ungleich NULL für \( k 0 \) Summenregel \( \quad f^{\prime}(x)=f^{\prime} i(x)+/-f^{\prime} 2(x)+/-\ldots f^{\prime} n(x) \)
\( \begin{array}{ll}\text { Produktregel } & (\mathrm{u} * \mathrm{v})^{\prime}=\mathrm{u}^{+*} \mathrm{v}+\mathrm{u}^{*} \mathrm{v}^{\prime} \\ & \left(\mathrm{u}^{*} \mathrm{v}^{*} \mathrm{w}\right)^{\prime}=\mathrm{u}^{\prime *} \mathrm{v}^{*} \mathrm{w}+\mathrm{u}^{*} \mathrm{v}^{\prime}+\mathrm{w}+\mathrm{u}^{*} \mathrm{v}^{*} \mathrm{w}^{\prime}\end{array} \)
Kettenregel \( \quad f^{\prime}(x)=z^{\prime *} f^{\prime}(z)=i n n e r e \) Ableitung äuBere Ableitung Quotientenregel \( (u / v)^{\prime}=\left(u^{\prime} * v-u^{*} v^{\prime}\right) / v^{2} \) mit v ungleich NULL speziel1 \( (1 / v)^{\prime}=-1 * v^{\prime} / v^{2} \)
1ementare Ableitungen \( \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \)
\( \left(a^{x}\right) !=a^{x}+1 n(a) \)
\( \left(\log _{q}(x)\right)^{\prime}=1 /\left(x^{*} \ln (a)\right)=1 / x * \log _{q} \) (e) mit a ungleich \( 1 \quad x=0 \)
\( (1 g(x))^{\prime}=1 / x^{*} 1 g(e) \approx 0,4343 / x \)
\( (\sin (x))^{\prime}=\cos (x) \)
\( \left(\cos (x) j^{\prime}=-\sin (x)\right. \)
\( (\tan (x))^{\prime}=1 / \cos ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x) \) mit \( x \) ungleich \( (2 * k+1) * p i / 2 \quad k \varepsilon G \)

Answer 4

f(x) = e^{1-x} + x-2

f'(x)= -e^{1-x} + 1

f''(x) = e^{1-x}

f'(x)=0 → e^{1-x}=1= e^0  → 1-x=0 → x=1

Da e^0=1 gilt, ist der Logarithmus nicht nötig.

Extremum bei x=1 (Minimum, da f"(x)>0)

Kein Wendepunkt, da f"(x) > 0 für alle x.

:-)

Comments

f'(x)=0 → e1-x=1 → 1-x=0 → x=1

-> muss man in diesem schritt keinen ln benutzen?

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Wenn die Potenz 1 ergibt, muss der Exponent gleich Null sein, wenn die Basis ungleich 1 ist.

:-)