Bestimmen Sie fur (aₙ) bis (fₙ) ob sie konvergent o divergent sind, ermittel im Falle der Konvergenz den Grenzwert.

Question

Aufgabe:
Bestimmen Sie fur die Folgen (aₙ) bis (fₙ) ob sie konvergent oder divergent sind und ermitteln
Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.

\( a_{n}=\frac{-6 n^{4}-5 n^{3}+2 n^{2}-6}{-4 n^{4}+2 n+2}, \quad b_{n}=(-1)^{n} \frac{2 n^{2}+11}{n^{3}+17}, \quad c_{n}=(-1)^{n} \frac{12 n^{2}+13}{3 n^{2}+3} \)
\( d_{n}=\frac{7 \sqrt{n}}{9 \sqrt{n}+7}+\frac{8^{n}+(-8)^{n}}{9^{n}+1}, \quad e_{n}=\left|\frac{7+\mathrm{i} 3}{9+\mathrm{i} 4}\right|^{n}, \quad f_{n}=n \sqrt{1+\frac{4}{n+7}}-(n+6) \)

Geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an. Wenn die Folge divergent ist, geben Sie
NaN an.

Problem/Ansatz:

ich bräuchte unbedingt Hilfe bei dieser Aufgabe. Welche Ergebnisse kommen heraus?

Answer 1

Die Ergebnisse kannst du dir selbst ausrechnen lassen. Z.B.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit+n+to+infinity+abs%28%287%2B3i%29%2F%289%2B4i%29%29%5En

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit+n+to+infinity+%28-1%29%5En+%2812n%5E2%2B13%29%2F%283n%5E2%2B3%29

Answer 2

a_n mit n^4 kürzen , dann siehst du Grenzwert = 1,5

b_n mit n^4 kürzen , dann siehst du Grenzwert = 0

c_n pendelt um Werte bei 4 und -4 , also divergent

d_n 1. Summand mit √n kürzen , dann siehst du Grenzwert = 7/9

   2. Summand mit 9^n kürzen, geht gegen 0, also insgesamt Grenzwert = 7/9

e_n ist wie (58/97)^n , also geometrische Folge mit |q|<1

==>  GW=0.

f_n umformen zu n*√((n+11)/(n+7)) - n - 6

n*√((n+11)/(n+7)) - n = n * ( √((n+11)/(n+7)) - 1 )   erweitern mit ( √((n+11)/(n+7)) + 1 )

n * (( n+11)/(n+7) - 1 )   /  ( √((n+11)/(n+7)) + 1 )

= ( 4n / (n+7)  )  /  ( √((n+11)/(n+7)) + 1 )

Zähler geht gegen 4, Nenner gegen 2, also GW=2 .

Mit der -6 dahinter, also Grenzwert von f_n = -4.