Zeigen der Konvergenz einer Reihe

Question

Aufgabe:

ich will die Konvergenz folgender Reihe zeigen. $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}}$$

Problem/Ansatz:

Ich darf lediglich das Wurzel/Quotientenkriterium oder das Majoranten/Minorantenkriterium benutzen.
Mit dem Wurzelkriterium lande ich bei $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{\frac{1}{2n}}}=1$$, welches keine Aussage über die Konvergenz zulässt.

Habe ich etwas falsch gemacht oder hätte jemand eine Idee, wie man es mit dem Majorantenkriterium zeigen könnte?

Mfg Max

Comments

vgl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%28n%2B1%29%5E0.5+from+0+to+infinit

Vlt. hilft es, wenn du Teilsummen bildest für gerade und ungerade n.

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Hallo,

Du kannst jeweils 2 Summanden zusammenfassen, also

$$(1-\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}})+(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{6)}})+ \ldots $$

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Summe auch in 2er-Schritten durchlaufen, das heißt, immer ein gerades \(n\) und ein ungerades \(n\) gemeinsam betrachten:$$\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^{2N}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^N\left(\frac{(-1)^{2k}}{\sqrt{2k+1}}+\frac{(-1)^{2k+1}}{\sqrt{(2k+1)+1}}\right)=\sum\limits_{k=0}^N\left(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}+\frac{-1}{\sqrt{2k+2}}\right)$$$$=\sum\limits_{k=0}^N\frac{\sqrt{2k+2}-\sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+1}\cdot\sqrt{2k+2}}=\sum\limits_{k=0}^N\frac{(\sqrt{2k+2}-\sqrt{2k+1})\cdot(\sqrt{2k+2}+\sqrt{2k+1})}{\sqrt{2k+1}\cdot\sqrt{2k+2}\cdot(\sqrt{2k+2}+\sqrt{2k+1})}$$Nach dieser Erweiterung können wir im Zähler die 3-te binomische Formel anwenden:$$=\sum\limits_{k=0}^N\frac{(2k+2)-(2k+1)}{\sqrt{2k+1}\cdot\sqrt{2k+2}\cdot(\sqrt{2k+2}+\sqrt{2k+1})}$$Der Zähler ist gleich \(1\). Wenn wir den Nenner eines Bruches verkleinern, vergrößern wir den Bruch. Daher können wir diese Summe wie folgt abschätzen:$$<\sum\limits_{k=0}^N\frac{1}{\sqrt{2k+1}\cdot\sqrt{2k+1}\cdot2\sqrt{2k+1}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^N\frac{1}{(2k+1)^{3/2}}<\sum\limits_{k=0}^N\frac{1}{(2k+1)^{3/2}}$$$$<\sum\limits_{k=0}^N\frac{1}{(k+1)^{3/2}}=\sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{k^{3/2}}$$Für \(N\to\infty\) konvergiert die letzte Summe und damit auch die ursprüngliche Summe.

Comments

Du kannst die unendliche Summe auch in 2er-Schritten durchlaufen

Das klappt dann besonders gut, wenn man vorher die Konvergenz nachgewiesen hat.

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Das braucht man nicht vorher erledigen. Aus der Konvergenz der 2er-Reihe folgt die Konvergenz der ursprünglichen Reihe, weil die Differenz zwischen den jeweiligen Partialsummen, also die Summanden, gegen gehen. Könnte man natürlich in der Musterlösung auch erwähnen.

Gruß Mathhilf

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Der Beweis, dass ∑ (-1)^n konvergiert geht übrigens analog zu obigem, die Abschätzung ist sogar noch einfacher.

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Ich habe meine Antwort leicht abgeändert, damit klar wird, was ich meinte.

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klar wird, was ich meinte

Was du meinen musst ist Folgendes :

1. S_2N = ∑ [n = 0 .. 2N] a_n   konvergiert (das hast du gezeigt)

2. S_2N-1 = ∑ [n = 0 .. 2N-1] a_n   konvergiert (das hast du nicht gezeigt)

3. Die beiden Partialsummenfolgen haben den gleichen Grenzwert (das hast du auch noch nicht gezeigt)

Diese Schritte 1.-3. sind übrigens eine Skizze des Beweises des Leibniz-Kriteriums.

Answer 2

Hallo

bei alternierenden Reihen benutzt niemand deine Konvergenzkriterien, (du kannst ja die Wurzel aus den negativen  Termin gar nicht ziehen) sondern das Leibniz-Kriterium. Nur wenn du die absolute Konvergenz zeigen sollst kannst du das Minoranten Kriterium benutzen.

Gruß lul