Gewinner in einem Würfelspiel

Question

Aufgabe:

In einem Würfelspiel werfen n Spieler hintereinander je einen fairen Würfel,
und der mit dem höchsten Ergebnis gewinnt.Der
erste Spieler würfelt eine 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das es bei 10 Personen überhaupt einen Gewinner gibt?

Problem/Ansatz:

Würde mir hier jemand einen Tipp geben? Ich weiß nicht genau aus welcher Richtung ich diese Aufgabe angehen soll, da es ja nicht bekannt ist welche Zahl die höchste ist.

Answer 1

Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist \(6^{10} \).

Anzahl der Ergebnisse bei denen 9 Personen höchstens 5 würfeln und eine Person eine 6 ist \(10\cdot 5^9 \).

Ähnlich zählt man Anzahl der Ergebnisse bei denen 9 Personen höchstens 4 würfeln und eine Person eine 5 oder eine 6: \(2\cdot 10\cdot 4^9 \).

Insgesamt bekommt man eine Warhscheinlichkeit von

        \(\sum\limits_{k=1}^6\frac{k\cdot 10\cdot (6-k)^9}{6^{10}}\)

Der erste Spieler würfelt eine 4.

Hab ich nicht beachtet. Müsste noch nachgebessert werden.

Comments

Hab ich nicht beachtet. Müsste noch nachgebessert werden.

Das stimmt zwar. Aber eventuell schafft es ja der Fragesteller auch deine Lösung anzupassen.

Vorschlag: Man führt zunächst eine Fallunterscheidung ein. Die erste geworfene 4 ist die Höchste Augenzahl und alle anderen 9 Würfe liegen darunter.

Einer wirft eine 5 oder 6 und die übrigen 8 liegen darunter. Der mit der 4 liegt ja eh darunter.

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Okay ich verstehe dieses Vorgehen. Aber der zweite Fall muss doch dann 2*10*4^9 sein oder und nicht fünf?

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Muss ich wenn ich die Fallunterscheidung mache, so wie Der_Mathecoach vorschlägt dann also keine bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung durchführen da ich dann die Fallunterscheidung mache?

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Aber der zweite Fall muss doch dann 2*10*4⁹ sein oder und nicht fünf?

Ja, natürlich.

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Habe ich dann einfach im Fall 1 ( 4 und alle anderen darunter)= 10*3^9 und

Fall 2: einer wirft eine 5 oder 6 = 2*10*4^8

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Schau mal, was bei deiner Summenformel rauskommt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28k*10*%286-k%29%29%5E9%2F6%5E10+from+1+to+6

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Schau mal, was bei deiner Summenformel rauskommt:

Das k als einfacher Faktor müsste nur durch 1 ersetzt werden. War sicher nur ein Flüchtigkeitsfehler.

Und deine eingegebene Summenformel ist auch verkehrt. Worauf bezieht sich da die 9 im Exponenten?

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Wäre jemand so nett und würde mir vielleicht nochmal weiterhelfen? Ich habe die ersten beiden Antworten verstanden. Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Tatsache berücksichtige dass die 4 von einem Spieler schon gewürfelt wurde. Wäre super nett wenn ich nochmal einen Tipp bekommen könnte

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Was hast du an meinem Tipp nicht verstanden? Betrachte den ersten Wurf bereits als getätigt mit festem Ausgang,.Du brauchst keine bedingte Wahrscheinlichkeit, weil du im Grunde genommen das Baumdiagramm hinter der zuerst gewürfelten 4 ansetzte. D.h. alles ist bedingt. Allerdings ist ein Wurf eines Würfels ja immer unabhängig von den vorangegangenen Würfen.

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Okay ich glaube ich habe es verstanden

Fall 1: ( 4 die Höchste und alle anderen 9 darunter) =3^9 möglichkeiten

Fall 2: ( 1 Spieler wirft eine 6 und die anderen darunter)= 10*5^8

Fall 3: ( 1 Spieler wirft eine 5 und die anderen darunter)= 10*4^8

Insgesamt dann: (3^9+10*5^8+10*4^8)/6^9=0,4546 also 45,46 %

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Erkläre mir die Rechnung für Fall 2

10 * 5^8

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Der Spieler mit der 6 hat 10 Möglichkeiten

Dann bleiben für die anderen 8 Spieler noch 5^8 Möglichkeiten

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Der Spieler mit der 6 hat 10 Möglichkeiten.

Ist das so? Denk da vielleicht nochmal drüber nach.

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Hat der 1. Spieler nur eine Möglichkeit?

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Okay es müsse neun Möglichkeiten sein also 9*5^8

und bei Fall 3 dann ebenso!!

Answer 2

Mindestens einer von den restlichen 9 muss 5 oder 6 werfen p(5v6) = 1/3

oder keiner wirft eine Zahl größer als 3 p(X<=3) = 1/2

-> P= 1- (2/3)^9 + (1/2)^9 = 97,59%

Comments

Das ist mal wieder viel zu kurz gedacht.