Basis aus Menge herausfinden

Question

ich bin gerade etwas planlos wie ich aus dieser Menge bzw. diesem R-Vektorraum, eine Basis herausfinde. Kann ich das ganze vielleicht in eine Matrix umformen um den Gausschen Algorithmus anzuwenden?

W:= lin({1+X, X^3, 1+X^3 ,X+X^3, 1+X+X^3, X^3+X^5})⊆R[X].

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wähle zunächst ein Erzeugendensystem: \(E=(1,x,x^3,x^5)\).

Damit kannst du die Polynome aus \(W\) alle darstellen, etwa so...$$1+x=\begin{pmatrix}1 & x & x^3 & x^5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}_E$$$$x^3=\begin{pmatrix}1 & x & x^3 & x^5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_E$$Führt man das mit allen Vektoren aus \(W\) aus, erhält man folgende Matrix:

$$A\coloneqq\left(\begin{array}{c|rrrrr}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\x & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\x^3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\x^5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Aus den Spaltenvektoren kann man nun die linearen Abhängigkeiten z.B. mittels elementarer Gauß-Spaltenoperationen herausrechnen:

$$\begin{array}{c|rrrrr} & & & -S_1 & & -S_1 &\\\hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\x & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\x^3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\x^5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{c|rrrrr} &  & & -S_2 & -S_2 & -S_2 & -S_2\\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\x & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\x^3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\x^5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$$$\to\quad\begin{array}{c|rrrrr} & -S_4 & & +S_4 & & & \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\x & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\x^3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\x^5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to\begin{array}{c|rrrrr} & \vec b_1 & \vec b_3 & & \vec b_2 & & \vec b_4 \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\x & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\x^3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\x^5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$

Es stellt sich heraus, dass unser oben gewähltes Erzeugendensystem \(E\) tatsächlich minimal und damit eine Basis ist.

Answer 2

Hallo

damit kannst du alle Polynom der Form a+bx+cx^3+dx^5 erzeugen,  also  musst du  nur 4 linear abhängige finden, als ersten den  3. und 4 ten rauswerfen  dann sehen dass die 4 übrigen Lin unabhängig sind, etw indem du daraus die Basis 1,x,x^3,x^5 herstellst

wenn du die als Basis nimmst kannst du natürlich auch ne Matrix aufstellen.

Gruß lul