Zeigen Sie: ist U ⊂ Z(G) eine Untergruppe von G, so ist U ein Normalteiler von G

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe. Wir definieren Z(G) := {g ∈ G | ∀h ∈ G : gh = hg}. Zeigen Sie:
(i) Z(G) ist ein Normalteiler von G.
(ii) Ist U ⊂ Z(G) eine Untergruppe von G, so ist U ein Normalteiler von G

Problem/Ansatz:

Hallo
(i) Habe ich schon gelöst
aber (ii) scheint schwer zu sein
Ich würde mich über eure Hilfe freuen

Answer 1

(ii) " =>": Du nimmst dir ein beliebiges x ∈ U. Da U ⊂ Z(G), weißt du, dass für alle a ∈ G gilt: ax=xa (so ist Z(G) definiert). Also stimmen für jedes Element die Rechts- und Linksnebenklassen überein. Da dass auf alle Elemente von U zutrifft, ist U ein Normalteiler von G.

"<=": U ist also Normaler von G. Nach Definition stimmen also für jedes Element die Rechts- und Linksnebenklassen überein. Also für bel. a ∈ G gilt: aU=Ua. Damit ist U nach Definition der Normalteiler aber Untergruppe von G.