In welchem Zeitraum schrumpfte die Population?

Question

Aufgabe:Die Anzahl der Ameisen einer Kolonie wird durch N(t)=1/64t^3-9/32t^2+3/2t+1 (0<t<9) erfasst t: Zeit in Wochen N(t) BEV Zahlen in Millionen

a) Zeichen sie den Graphen von N .Legen Sie dazu eine Wertetabelle an .

b) Zu welchem Zeitpunkt des Beobachtungszeitraum war die Kolonie am Größten

A: Können wir ja anhand der Wertetabelle ablesen

c) In welchem Zeitraum schrumpfte die Population?

A: Klnnen wir auch anhand der Wertetabelle ablesen

d) Wie groß war die mittlere Wachstumsrate im Beobachtungszeitraum?

Meint man hier die durchschnittliche Wachstumsrate?

e) Wie groß war die momentane Wachstumsrate zur Zeit t=5 ? Wann war die momentane Wachstumsrate maximal und minimal ?

Es geht doch hier um die Momentane Wachstumsrate

Kann mir vielleicht jemand helfen und sagen auf die Aufgaben so vielleicht angegangen werden können ?

Answer 1

b) Zu welchem Zeitpunkt des Beobachtungszeitraum war die Kolonie am Größten

Hochpunkt von \(N\) bestimmen. Dazu

1. Ableitungsfunktion bestimmen
   
2. Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen. Die Idee dahinter ist, dass an einem Hochpunkt die Steigung (also die Ableitung) Null ist.
   
3. Mittels Vorzeichenwechelkriterium die Nullstelle der Ableitung bestimmen, an dem die Ableitung einen Vorzeichenwechsel vom positiven zum negativen hat. Die Idee dahinter ist, dass die Funktion vor dem Hochpunkt steigt (positive Ableitung) und nach dem Hochpunkt fällt. Problem von Schritt 2 ist, dass auch an Tiefpunkten und Sattelpunkten die Ableitung Null ist.
   

c) In welchem Zeitraum schrumpfte die Population?

Wenn die Ableitung negativ ist.

d) Wie groß war die mittlere Wachstumsrate im Beobachtungszeitraum?

Damit ist die durchschnittliche Wachstumsrate gemeint.

e) Wie groß war die momentane Wachstumsrate zur Zeit t=5 ?

Den Zeitpunkt in die Ableitungsfunktion einsetzen.

Wann war die momentane Wachstumsrate maximal und minimal ?

Hoch- und Tiefpunkt von \(N'\) bestimmen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort müsste die Antwort bei a) in der 4 Woche sind es 3,5 Millionen Ameisen sein

Ist hier nicht ablesen gemeint ?

---

die Antwort bei a) in der 4 Woche sind es 3,5 Millionen Ameisen

Die Antwort ist richtig.

Ist hier nicht ablesen gemeint ?

In der Aufgabe steht nicht, welchen Weg du zur Lösung verwenden musst. Du darfst dir den Lösungsweg deshalb selbst aussuchen.

---

Ok vielen Dank

Answer 2

Aufgabe:Die Anzahl der Ameisen einer Kolonie wird durch N(t)=1/64t3-9/32t2+3/2t+1 (0<t<9) erfasst t: Zeit in Wochen N(t) BEV Zahlen in Millionen

a) Zeichen sie den Graphen von N .Legen Sie dazu eine Wertetabelle an .

b) Zu welchem Zeitpunkt des Beobachtungszeitraum war die Kolonie am Größten

N ´( t ) = 0
( 2.Ableifung auch bilden ob min / max )
t = 4

c) In welchem Zeitraum schrumpfte die Population?
N ` ( t ) < 0
Zwischen 4 und 8

d) Wie groß war die mittlere Wachstumsrate im
Beobachtungszeitraum?
delta y / delta ( x ) = [ f (  9 ) - f(0) ] / (9 0 )

Meint man hier die durchschnittliche Wachstumsrate?
Ja.

e) Wie groß war die momentane Wachstumsrate zur Zeit t=5 ?
N ´( 5 )

Wann war die momentane Wachstumsrate maximal und minimal ?
Wendestelle
und
bei N ( 0 ) ( siehe Skizze )

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

Comments

Ok vielen Dank

---

Gern geschehen.

---

Geht es bei der Aufgabe e) nicht um Hochpunkt und Tiefpunkt , weil ja von minimal und maximal gesprochen wird .

---

Nein.
Wann war die momentane Wachstumsrate maximal und minimal ?

Es geht um den
Maximalwert der Wachstumsrate =
steilste Stelle
t = 0
N ´( 0 ) = 1.5
und

Wendestelle
Minimallwert der Wachstumsrate =
steilster Abfall
t = 6
N ´( 6 ) = -3/16
( siehe Skizze )

---

Ok Danke

Habe es jetzt endlich verstanden

---

Hier der Graph der Steigung = 1.Ableitung
= Wachstum

Bei t = 4 und t = 8 ist das Wachstum null.
Dort sind Hoch- und Tiefpunkt.

Bei t = 6 ist die Stieigung - 3/16
Links ist ein Randmaximum der Steigung von plus 1.5
( Höchste Steigung )

Wenn du eine weitere Ableitung machst und dann
N´´ ( x ) = 0 stetzst kommt t = 6 Heraus.
mfg

Answer 3

N(t)=\( \frac{1}{64} \) t^3-\( \frac{9}{32} \) t^2+\( \frac{3}{2} \) t+1      (0<t<9)

b) Zu welchem Zeitpunkt des Beobachtungszeitraum war die Kolonie am Größten

N´(t)=\( \frac{3}{64} \) t^2-\( \frac{9}{16} \) t+\( \frac{3}{2} \) 

\( \frac{3}{64} \) t^2-\( \frac{9}{16} \) t+\( \frac{3}{2} \)=0

t₁=4

t₂=8

Art des Extremwertes:

N´´(t)=\( \frac{3}{32} \) t-\( \frac{9}{16} \)

N´´(4)=\( \frac{3}{32} \) *4-\( \frac{9}{16} \)=\( \frac{6}{16} \)-\( \frac{9}{16} \)=-\( \frac{3}{16} \)<0 → Maximum

c) In welchem Zeitraum schrumpfte die Population?

Bei t=4 ist das Maximum und bei t=8 ist das Minimum

e) Wie groß war die momentane Wachstumsrate zur Zeit t=5 ?

N´(t)=\( \frac{3}{64} \) t^2-\( \frac{9}{16} \) t+\( \frac{3}{2} \)

N´(5)=\( \frac{3}{64} \)*25-\( \frac{9}{16} \) *5+\( \frac{3}{2} \)= -\( \frac{9}{64} \)