Volumen eines Kegels mit Integration

Question

Aufgabe:

Ich soll das Volumen eines Kegels mit einer elliptischen Grundfläche berechnen (mittels Integration)

x²/4 + y² =1

h=2

Ans

Ich kann die Paramterisierung

a*cos(phi) * r

b* sin(phi) * r

Wie kann ich die Höhe in das Integral einfließen lassen?

Vielen Dank

Answer 1

1) Die Parameteriserung kommt ein r vor, aber wieso?

Ich könnte ja die Grundfläche genauso gut mit a*cos(phi) und b*Sin(Phi) beschreiben.

Zur Kegelspitze hin müsstest du dann sowohl a als auch b verkleinern. Dann ist es einfacher nur r zu verkleinern und a und b als konstante Faktoren einfach stehen zu lassen.

2) wie kann ich die Höhe in das Integral einfließen lassen?

Wenn du am Boden r = 1 hast, dann gilt an der Spitze sicher r = 0.

Comments

Ja, das ist mir klar, jedoch wurde eine lineare Funktion h(r) nicht funktionieren, da es nicht so wie bei einem Kreis einheitlich ist

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Ich denke da täuscht du dich.

Ein elliptischer Kegel entsteht, wenn man den aufrecht im Koordinatensystem stehenden Kegel z.B. in x/y Richtung streckt/staucht.

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Wenn ich es von einer Seite stauche, dann verändert sich doch die Steigung der Funktion an einer Seite.

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Richtig. Trotzdem bleibt die Seitenlinie an dieser Seite eine lineare Funktion.

Answer 2

Halbachsen: a = 2, b = 1

\(  A = π \cdot a \cdot b \)

\(  V = \int\limits_{0}^{2} π \cdot h \cdot h/2 \, dh = \frac{4}{3} π \)