Scheitelpunktform y=f(x)=a*(x-xs)²+ys
a=Streckungsfaktor (Formfaktor)
a>0 Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden
a<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden
Hochpunkt → Maximum H(3/2) → Ps(xs/ys) → xs=3 und ys=2
f(x)=a*(x-3)²+2 mit P(0/-2,5) Schnittstelle y-Achse → x=0 y=-2,5
f(0)=-2,5=a*(0-3)²+2=a*9+2 → a=(-2,5-2)/9=-4,5/9=-1/2
f(x)=-1/2*(x-3)²+2
kann man nun noch in die allgemeine Form umwandeln y=f(x)=a*x²+b*x+c
binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²
Infos
Text erkannt:
Die Parabe] af 1geneine Form \( y=f(x)=a 2 * x^{2}+a 1+x+a 0 \) Scheitelpunkt form \( \left.y=f(x)=a 2^{*}(x-x 8)^{2}+y\right\} \) Scheite1punkt \( \mathrm{Ps}(\mathrm{xs} / \mathrm{ys}) \mathrm{mit} \mathrm{xse-}(\mathrm{a} 1) /(2 * \mathrm{a} 2) \) und
\( \mathrm{y} \mathrm{se-}(\mathrm{a} 1)^{2} /(4 * \mathrm{a} 2)+\mathrm{ad} \)
Normalform \( 0=x^{2}+p^{*} x+d \) Nullstellen mit der p-q-Formel \( x 1,2=-p / 2+/-\sqrt{\left((p / 2)^{2}-q\right)} \)
gemischtquadratische Form \( \left.0=x^{2}+p^{*} x\right] \) Nu11stellen bei \( x 1=0 \) und
einfachste Form \( y=a^{*} x^{2}+c \)
a 2-Streckungsfaktor (Formfaktor) \( a 2>0 \) Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden a \( 2<0 \) Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden \( a 2>1 \) Parabel gestreckt,oben schmal 0 <a \( 2<1 \) Parabel gestaucht,oben breit
\( \underline{\text { Herleitung } x s} \) und ys \( f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \circ \) nun ableiten
\( f^{\prime}(x s)=0=2 * a 2 * x s+a 0 \quad \) ergibt \( \left.x s=-(a 1) /(2 * a 2)\right] \) eingesetzt
\( y s=f(x s)=a 2 *(-a 1 /(2 * a 2))^{2}+a 1 *(-a 1 /(2 * a 2)+a 0 \)
\( y s=a 2 *(-a 1)^{2} /\left(4^{*} a 2^{2}\right)-a 1^{2} /(2 * a 2)+a 0 \)
\( \mathrm{ys}=1 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2^{2}-2 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2+\mathrm{ao} \)
\( y s=-(a 1)^{2} /(4 * a 2)+a d \)
Hinweis:Der Scheitelpunkt Ps(xs/ys) ist ein Extrempunkt Maximum oder Minimum
Lösbarkeitsregeln für die p-q-Formel
Diskriminate D=(p/2) \( ^{2}-\mathrm{p}\left\{\left\{\begin{array}{l}>02 \text { reelle verschiedene Lösungen } \\ =02 \text { gleiche reelle Losungen } \\ <02 \text { konjugiert komplexe Losungen }\end{array}\right.\right. \)
~plot~-0,5*(x-3)^2+2;2;[[-10|10|-10|5]];x=3~plot~
