Aloha :)
Wir wissen, dass \((a_n)\to a\) konvergiert.
1. Fall \(a>0\)
Wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest, so gilt ab einem gewissen \(n_0\in\mathbb N\):$$\left|a_n-a\right|<\varepsilon\implies\left|(\sqrt{a_n}-\sqrt a)(\sqrt{a_n}+\sqrt a)\right|<\varepsilon\implies$$$$\left|\sqrt{a_n}-\sqrt a\right|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}\le\frac{\varepsilon}{\sqrt a}$$Daher konvergiert \((\sqrt{a_n})\to \sqrt{a}\).
2. Fall \(a=0\)
Wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest, so gilt ab einem gewissen \(n_0\in\mathbb N\):$$\left|a_n\right|<\varepsilon\implies\left|\sqrt{a_n}\right|<\sqrt{\varepsilon}$$Daher konvergiert \((\sqrt{a_n})\to0\).
