Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Funktion

Question

Aufgabe:

Überprüfe die folgende Funktion auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

$$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} , f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x & ,x \text{ ist gerade } \\ -x & ,x \text{ ist ungerade } \\ \end{array} \right.$$

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich mit so einer Funktion um? Danke für Antworten!

Answer 1

Zuerst prüfst du Injektivität und Surjektivität. Falls beides gegeben ist, ist die Funktion bijektiv, anders nicht. Für Surjektivität suchst du dir einen Zahlenwert im Bildraum, der nicht abgebildet wird, um es zu widerlegen, oder du überlegst dir, warum es für jeden Wert im Bildraum (also jede ganze Zahl) eine Zahl im Definitionsraum gibt, die darauf abbildet. Für Injektivität musst du prüfen, dass zwei verschiedene natürliche Zahlen auch zwei verschiedene Funktionswerte haben, oder eben ein Beispiel finden, bei dem zwei verschiedene Zahlen aus dem Definitionsbereich denselben Funktionswert hätten.

Konkret heisst das hier: Findest du gerade negative Zahlen, die von der Funktion "ausgespuckt" werden? Und für Injektivität: Findest du zwei verschiedene Zahlen, für die ihr Funktionswert gleich ist, wenn doch höchstens ihr Vorzeichen verändert wird?

Answer 2

Welche Lösung hat f(x) = -2 ? Und was sagt uns das jetzt ?

Answer 3

\(f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\)	Zeigen	Widerlegen
Injektivität	Sei \(z\in\mathbb{Z}\) und \(n_1, n_2\in\mathbb{N}\) mit \(f(n_1)=f(n_2)=z\). Begründe warum \(n_1=n_2\) ist.	Gib \(n_1, n_2\in\mathbb{N}\) an, so dass \(f(n_1) = f(n_2)\) und \(n_1\neq n_2\) ist.
Surjektivität	Sei \(z\in\mathbb{Z}\). Gib ein \(n\in \mathbb{N}\) an, so dass \(f(n) = z\) ist.	Gib ein \(z\in\mathbb{Z}\) an, so dass \(f(n)\neq z\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist.
Bijektivität	Zeige dass \(f\) injektiv und surjektiv ist	Zeige dass \(f\) nicht injektiv oder nicht surjektiv ist

Comments

Soweit habe ich es glaube ich verstanden, aber wie kann ich das jetzt bei dieser Funktion beweisen?

Für Surjektivität:

Also offensichtlich wird f(x) = -2 durch keine gerade natürliche Zahl erreicht, aber wie beweise ich das?

Für Injektivität:

Gleiches Problem, offensichtlich ist die Funktion injektiv, aber es macht mir Schwierigkeiten, dass nur mit Variablen und ohne "echte Zahlen" zu zeigen...

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Die Funktionsvorschrift erlaubt einfach keine negativen geraden Zahlen. Angenommen, du würdest so eine finden. Dann weisst du durch die Funktionsvorschrift, wie x aussehen müsste, und siehst, dass das nicht geht. Denn wenn $$f(x) = -2k \: für\: ein\: k \in ℕ,$$ dann müsste x schon gerade sein, aber dann sagt die Vorschrift, dass $$f(x) > 0. $$

Für die Injektivität kannst du das mit Widerspruch machen, oder direkt zeigen. Nimm z.B. $$x_1,x_2 \in ℕ \: mit \: x_1 ≠ x_2. $$ Dann gilt entweder $$f(x_1) = x_1 \: oder\: f(x_1) = - x_1,$$ und $$f(x_2)= x_2 \: oder \: f(x_2)= -x_2.$$ Da gilt: $$x_1 ≠ x_2,\: und \: x_1,x_2 \in ℕ,$$ gilt dann auch $$-x_1 ≠ -x_2,\: -x_1 ≠x_2\: und \: x_1 ≠ -x_2.$$ Das heißt dann also, dass die Funktionswerte nicht übereinstimmen können.

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Vielen Dank, jetzt ist es klar!