Normungleichung berechnen/zeigen

Question

Aufgabe:

Normungleichung

Problem/Ansatz:

Hey:)

Kann mir jemand hierbei helfen, ich tue mich eh schon schwer mit Ungleichungen deswegen wäre Hilfe super :)

Text erkannt:

Sei \( (X,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum. Zeigen Sie:
$$ \|x\|+\|y\| \leq\|x+y\|+\|x-y\| \text { für alle } x, y \in X $$
Hinweis: Zeigen Sie zunächst \( 2\|x\| \leq\|x+y\|+\|x-y\| \) und \( 2\|y\| \leq\|x+y\|+\|x-y\| \).

Answer 1

Nach der Dreiecksungleichung ist 2||x|| = ||2x|| = ||(x+y) + (x-y)|| ≤ ||x+y|| + ||x-y||.
Analog ist auch 2||y|| = ||2y|| = ||(y+x) + (y-x)|| ≤ ||y+x|| + ||y-x|| = ||x+y|| + ||x-y||.
Addition liefert 2||x|| + 2||y|| ≤ 2||x+y|| + 2||x-y||. Dividiere nun durch 2.