Hallo :-)
Bitte tippe beim nächstenmal deine Aufgaben ab. Das hat einfach den Sinn, dass du dir dabei nochmals Gedanken zu machst. Außerdem wäre es klar von Vorteil, wenn du bitte deine eigenen Ansätze schilderst oder wenigstens sagst, wo du Probleme hast. Da das aber jetzt nur so eine Standardaufgabe aus der Linearen Algebra ist, mache ich mal das zur ersten Menge vor. Ich nenne sie jetzt \(U_1\):
1.) \(U_1\neq \{\},\) denn für \(f=0\) ist auch \(f(3)=0=f(5),\) also ist \(f\in U_1\).
2.) Seien \(p,q\in U_1\) beliebig. Es gilt also \(p(3)=p(5)\) und \(q(3)=q(5)\).Also gilt auch
$$(p+q)(3)\stackrel{\text{punktweise}}{=}p(3)+q(3)=p(5)+q(5)\stackrel{\text{punktweise}}{=} (p+q)(5)$$
und damit \(p+q\in U_1\).
3.) Sei nun \(g\in U_1\) und \(\alpha\in \mathbb{R}\) beliebig. Es gilt also \(g(3)=g(5)\). Also gilt auch
$$(\alpha \cdot g)(3)\stackrel{\text{punktweise}}{=}\alpha\cdot g(3)=\alpha\cdot g(5)\stackrel{\text{punktweise}}{=}(\alpha\cdot g)(5)$$ und damit \(\alpha\cdot g\in U_1\).
