Skizze + Konstruktion einer Kongruenzabbildung

Question

Aufgabe:

Kongruenzabbildung

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei der Skizze und der Konstruktion der zugehörigen Kongruenzabbildung helfen ?

Text erkannt:

Iodell \( \left(\mathbb{R}^{2}, d_{2}\right) \) der Euklidischen Ebene seien die Punkte
$$ A=(0,1), B=(4,1), C(4,3) \quad \text { und } \quad A^{\prime}=(9,8), B^{\prime}=(9,4), C^{\prime}=(7,4) $$
gegeben. Die korrespondierenden Dreiecke sind kongruent.
a) Veranschaulichen Sie eine Schubspiegelung, die das Dreieck \( \Delta A B C \) auf das Dreieck \( \Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \), anhand einer Skizze mit Spiegelachse und einem Vektor, entlang dessen verschoben wird.
b) Konstruieren Sie die zugehörige Kongruenzabbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \), die das Dreieck \( \triangle A B C \) auf das Dreieck \( \Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) abbildet.

Answer 1

Hallo,

ich habe Dir die beiden Dreiecke in JsFiddle eingegeben:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/sedq10fx/31/

Das Dreieck \(\triangle ABC\) (blau) soll durch eine Gleit- bzw. Schubspiegelung auf \(\triangle A'B'C'\) (grün) abgebildet werden. Die blaue Spiegelachse spiegelt \(\triangle ABC\) zunächst auf das Dreieck \(\triangle A''B''C''\) (gelb) und anschließend wird das Dreieck um den Vektor \(\vec{A''A'}\) (rot) verschoben.

Du kannst mit der Maus die blaue Spiegelachse verschieben, indem Du den Punkt \(S\) verschiebst. Für eine korrekte Gleit- bzw. Schubspiegelung muss der Gleit- bzw. Schubvektor (rot) parallel zur Spiegelachse verlaufen.

Wenn das der Fall ist, was gilt dann für die relative Lage z.B. der Punkte \(C\), \(C''\) und \(C'\) ?

Die allgemeine Konstuktion zeige ich Dir an Hand der Strecke \(AB\) (blau), die auf eine zweite gleich lange Strecke \(A'B'\) (grün) durch Schubspiegelung abgebildet werden soll. Das ist übersichtlicher.

Es ist die Spiegelachse (blau) und der Schubvektor(rot) zu konstruieren.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/sedq10fx/32/

Verlängere beide Strecken \(AB\) und \(A'B'\) zu Geraden (lila) und konstruiere die Winkelhalbierende \(w\) (schwarz gestrichelt) des gemeinsamen Winkels dieser Geraden. Wichtig dabei ist, den Winkel zu halbieren, der in der gemeinsamen Richtung der beiden Strecken liegt. Nicht den Nebenwinkel. Wähle ein zusammengehörendes Punktepaar \(AA'\), je ein Punkt aus jeder Strecke, und konstruiere den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AA'\). Konstruiere das Lot von \(A\) auf \(w\). DIeses Lot schneidet den Kreis (grün) um \(M\) mit Radius \(|MA|\) außer in \(A\) noch in \(A''\).

Die Parallele zu \(w\) durch \(M\) ist die Spiegelachse (blaue Punkt-Strich-Linie) und der Vektor \(\vec{A''A'}\) ist der Schubvektor.

Du kannst in dem zweiten Fiddle die Punkte \(A\), \(B\) und \(A'\) und \(B'\) verschieben. Schau Dir an, was dann passiert.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Nachtrag: die Spiegelachse lässt sich auch kontruieren, wenn man ein zweites Punktepaar \(BB'\) wählt und ebenfalls den Mittelpunkt \(M_2\) der Strecke \(BB'\) konstruiert. Die Gerade durch \(M\) und \(M2\) ist die gesuchte Spiegelachse.

Gruß Werner

Comments

Konstruktionsanleitung hinzu gefügt.

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Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen? (Beschreiben des Rotationskörpers und Begründung)

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reichen Dir die beiden Antworten? zu (b) schaue Dir die zweite binomische Formel an. Ist einfache Algebra ;-)

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Hey :)

Danke erstmal für deine Ausführliche Antwort!!Die Skizze habe ich jetzt glaube ich sehr gut verstanden,jedoch steige ich bei der Konstruktion noch nicht ganz durch. Anhand des Schaubilds verstehe ich zwar wie die Abbildung dort aussieht, aber wie konstruiere ich sowas ? Der zweite Aufgabenteil soll denke ich nicht anhand einer Skizze konstruiert werden und irgendwie habe ich es gestern den ganzen Tag nicht hinbekommen...

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Der zweite Aufgabenteil soll denke ich nicht anhand einer Skizze konstruiert werden ...

(b) soll konstruiert werden. Und da es sich um eine Schubspiegelung (bzw. Gleitspiegelung) handelt, soll die Spiegelachse und der Schub- bzw- Gleitvektor konstruiert werden.

Ganz konkret geht das so:

Konstruiere von zwei der drei Punktepaare \(AA'\), \(BB'\) und \(CC'\) jeweils die Mitte. Damit erhältst Du zwei der Punkte \(M_{a,b,c}\) (grün). Die Gerade durch diese Punkte ist die Spiegelgerade (blau Strich-Punkt-Gerade). Spiegele nun einen der Punkte - z.B. \(A\) - an der Spiegelachse zu \(A''\). Das Delta \(\vec{A''A'}\) ist der Schubvektor (rot).

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich ruhig nochmal.