Menge dieser Permutationen zusammen mit der Hintereinanderausführung ◦.

Question

Im Folgenden geht es um Permutationen von drei Elementen. Diese werden in der Menge S3 zusammengefasst und
wie folgt beschrieben:

S₃ = {(1 2 3), (123), (123), (123), (123), (123)}
        1 2 3  ,  231,   312, 132,  321,  213

      =:σ₁   =:σ₂   =:σ₃   =:σ₄  =:σ₅   =:σ₆

Wir betrachten die Menge dieser Permutationen zusammen mit der Hintereinanderausführung ◦.
a) Berechnen Sie σ₂ ◦ σ₄.

b) Jemand behauptet, die Menge S₃ sei bezüglich der Hintereinanderausführung ◦ nicht abgeschlossen. Nehmen Sie dazu begründet Stellung.

c) Untersuchen Sie, ob in S₃ ein bezüglich ◦ neutrales Element existiert.

d) Entscheiden Sie für jedes Element aus S₃, ob ein bezüglich ◦  inverses Element in S₃ existiert. Begründen Sie ggf.
durch Nachrechnen.

e) Prüfen Sie, ob S₃ bezüglich der Hintereinanderausführung ◦ kommutativ ist.

f) Sie können davon ausgehen, dass (S₃, ◦) assoziativ ist. Legen Sie begründet dar, ob es sich bei ( S₃, ◦) um eine
(kommutative) Gruppe handelt.

Answer 1

Hallo Nella, bei dieser Aufgabe helfe ich dir erst, wenn du bei deiner Aufgabe https://www.mathelounge.de/851819/permutation-der-menge-1-2-3-4-5-6 mitarbeitest.  

Answer 2

Hallo Nella und Kommilitonen,

an sich müsst ihr für diese Aufgabe nichts Anderes machen, als das was wir in der letzten VL gemacht haben, um für beliebige Permutationen bzgl. ◦ die einzelnen Bedingungen für eine (kommutative) Gruppe zu prüfen. Nur halt hier nicht allgemein gehalten mit sigma und n und so, sondern mit den Elementen der gegebenen Menge S₃.

Kleiner Tipp für 1b): Seht euch die Elemente aus S₃ an, gibt es noch weitere Möglichkeiten, die Ziffern 1, 2 und 3 anzuordnen?