Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von p!

Question

Aufgabe:

Für jede positive reelle Zahl p schließt der Graph der Parabel f_p(x)=-x² +4px - 3p² mit der x- Achse eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von p!
Für welchen Wert von p hat die Fläche den Inhalt 288 FE? Durch einen Schnittpunkt des Graphen mit der x- Achse und den Scheitelpunkt der Parabel verläuft eine steigende Gerade. In welchem Verhältnis teilt diese Gerade die Fläche?

Problem/Ansatz:

Beim Teil mit den 288 FE, weiß ich das p=6 ist. B

Bei Teil 1 und Teil 3 fehlt mir wieder der Ansatz!

Answer 1

Hallo,

1. Teil

Du bestimmst die Nullstellen in Abhängigkeit von p, bildest du Stammfunktion und setzt die Nullstellen als Integralgrenzen ein.

Wenn du die Lösung des 2. Teil kennst, wirst du das ja schon gemacht haben, oder nicht?

Gruß, Silvia

Teil 3

Die Nullstellen und der Scheitelpunkt der Parabel bilden ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks und ziehe ihn von dem Flächeninhalt des Integrals ab. Teile das Ergebnis durch 2 und berechne den Anteil an der blauen Fläche.

Du kannst natürlich auch die Gleichung der Geraden durch Nullstelle und Scheitelpunkt bestimmen und den Flächeninhalt zwischen Parabel und Gerade bestimmen. Ich finde das jedoch aufwendiger.

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Answer 2

Für jede positive reelle Zahl p schließt der Graph der Parabel fp(x)=-x^2 +4px - 3p² mit der x- Achse eine Fläche ein. a)Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von p!
b)Für welchen Wert von p hat die Fläche den Inhalt 288 FE?

f(x)=-x^2+4px-3p^2

Nullstellen:

-x^2+4px-3p^2=0

x^2-4px=-3p^2

(x-2p)^2=-3p^2+4p^2=p^2|\( \sqrt{} \)

1.)x-2p=p

x₁=3p

2.)x-2p=-p

x₂=p

\( A=\int \limits_{p}^{3 p}\left(-x^{2}+4 p x-3 p^{2}\right) \cdot d x=\left[-\frac{1}{3} x^{3}+2 p x^{2}-3 p^{2} \cdot x\right]_{p}^{3 p}= \)

\( =\left[-\frac{1}{3} \cdot(3 p)^{3}+2 p \cdot(3 p)^{2}-3 p^{2} \cdot(3 p)\right]-\left[-\frac{1}{3} \cdot p^{3}+2 p \cdot p^{2}-3 p^{2} \cdot p\right]= \)

\( =\left[-9 p^{3}+18 p^{3}-9 p^{3}\right]-\left[-\frac{1}{3} \cdot p^{3}+2 p^{3}-3 p^{3}\right]=\frac{4}{3} p^{3} \)

\( b) \frac{4}{3} p^{3}=288 \mid \cdot \frac{3}{4} \)

\( p^{3}=216 \)

\( p=\sqrt[3]{216}=6 \)