Verflechtungsmatrizen - Anwendung in der Produktionsplanung

Question

B₁ = 2 * R₁ + 4 * R₂

B₂ = R₁ + 3 R₃ + B₁

B₃ = 5 R₃ + 2B₂

P= R₁ + 2B₂ + B₃

Wie viele Einheiten von B1, B2, B3 und P müssen insgesamt produziert werden, um b₁ = 10, b₁ = 30, b₁ = 20 und p = 10 zu erfüllen?

Comments

Der Text ist unverständlich ...

Tu uns und DIr einen Gefallen und stelle die Originalaufgabe ein.

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Die Anfertigung eines Produkts P ereignet sich durch Zusammensetzen der Baugruppen unter Verwendung von Rohmaterialien. B₁ wird direkt aus R₁ und R₂ gefertigt, wobei man fur eine solche Baugruppe 2 Einheiten R₁ und 4 Einheiten R₁ benötigt.. für B₂ eine Einheit R₁ und 3 Einheiten R₃ sowie eine Baugruppe B₁. Für B₃ benötigt man 5 Einheiten R₃ und zwei B₂. P stellt man aus einer Einheit R₂, zwei Baugruppen B₂ und einer Baugruppe B₃. Wir erhalten nun den Auftrag b₁ Baugruppen B₁, b₂ Baugruppen B₂, b₃ Baugruppen B₃ und p fertige Endprodukte P zu liefern

(a) Wie viele Einheiten von B₁, B₂, B₃ und P mussen insgesamt, d.h. einschließlich für den internen Verbrauch benötigte Einheiten, produziert werden, um den Auftrag von b₁ = 10, b₂ = 30, b3 = 20 und p = 10 genau zu erfullen?
(b) Wie kann man den Vektor der fur diesen Auftrag zu beschaffenden Rohstoffmengen mit Komponenten r_i fur Rohstoff r_i aus dem Auftragsvektor a mit den Komponenten b₁, b₂, b₃ und p unter Nutzung geeigneter Matrizen bestimmen?

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wobei man fur eine solche Baugruppe 2 Einheiten R₁ und 4 Einheiten R₁ benötigt..

Herjesses, man hat Dich doch gebeten die Originalaufgabe einzustellen.

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Die Herstellung eines Produktes P erfolgt durch Zusammensetzen immer komplizierterer Baugruppen unter Verwendung geeigneter Rohmaterialien.
Die einfachste Baugruppe B1 wird direkt aus den Rohmaterialien R1 und R2 gefertigt, wobei man fur eine solche Baugruppe zwei Einheiten R1 und vier Einheiten R2 benötigt. Entsprechend benötigt man für B2 eine Einheit R1 und drei Einheiten R3 sowie eine Baugruppe B1. Fur eine Baugruppe B3 benötigt man funf Einheiten R3 und 2 Baugruppen B2. Schließlich
fertigt man P aus einer Einheit R2, zwei Baugruppen B2 und einer Baugruppe B3.
Das Unternehmen erhält nun den Auftrag b1 Baugruppen B1, b2 Baugruppen B2, b3 Baugruppen B3 und p fertige Endprodukte P an einen Vertragshändler mit angeschlossener Reparaturwerkstatt zu liefern.
(a) Wie viele Einheiten von B1, B2, B3 und P mussen insgesamt, d.h. einschließlich für den internen Verbrauch benötigte Einheiten, produziert werden, um den Auftrag von b1 = 10, b2 = 30, b3 = 20 und p = 10 genau zu erfullen?
(b) Was ergibt sich als reine Materialkosten bei den Werten k1 = 150 Euro, k2 = 200 Euro und k3 = 50 Euro?
(c) Wie kann man den Vektor der fur diesen Auftrag zu beschaffenden Rohstoffmengen mit Komponenten r_i fur Rohstoff r_i
aus dem Auftragsvektor a mit den Komponenten b1, b2, b3 und p unter Nutzung geeigneter Matrizen bestimmen?
(d) Was sind die reinen Materialkosten K des Auftrages, wenn mit k1, k2 und k3 die Kosten je einer Einheit R1, R2 und R3 gegeben sind?

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was muss ich tun?

Answer 1

Hm, schaun mer mal,

man könnte alle R_i für den Bedarf an Baugruppen R zusammen fassen

\(\small \left\{ b1 = 2 \; r1 + 4 \; r2, b2 = 3 \; r1 + 4 \; r2 + 3 \; r3, b3 = 6 \; r1 + 8 \; r2 + 11 \; r3, p = 12 \; r1 + 17 \; r2 + 17 \; r3 \right\} \)

\(\small P \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}2&3&6&12\\4&4&8&17\\0&3&11&17\\\end{array}\right) \)

\(\small P \; \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}350\\490\\480\\\end{array}\right)\)

oder aufgeschlüsselt

\(\small P_{rb} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\4&0&0&1\\0&3&5&0\\0&1&0&0\\0&0&2&2\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}b1\\b2\\b3\\p\\\end{array}\right)\)

Dann müßte man die entstehen B-Pakete schrittweise nachschieben (ob das so gedacht ist?)

und erhält

\(\small PP=  P_{rb} \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right) +...+  =   \left(\begin{array}{r}350\\490\\480\\110\\80\\10\\\end{array}\right)   \)

ohne Gewähr: bitte prüfen, ob der Bedarf richtig wiedergegeben wird?

Comments

okay danke kannst du mir bei aufgabe c auch helfen?

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ich verstehs bis zum vektor \( \begin{pmatrix} 350\\490\\480 \end{pmatrix} \)

was machst du dann warum ist die matrix plötzlich so groß und hast du mit Eliminierungen gearbeitet? ist das ne obere dreiecksmatrix wegen den Nullen unten links?

Dann müßte man die entstehen B-Pakete schrittweise nachschieben

wie meinst du das? ^^ sorry für dumme fragen ich würde die lösung gern nachvollziehen können, damit ich nächstes Mal weiß, was ich tun muss

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Dann hast Du ja c) abgehandelt.

In der oberen Hälfte von P_rb steht der R Baugruppen-Bedarf und in der unteren Hälfte der B Baugruppen-Bedarf. Wenn DU Deinen Auftragsvektor einsetzt

\(\small \left\{ P_{rb} \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}50\\50\\190\\30\\60\\10\\\end{array}\right)\right\}  \)

erhältst Du einen Bedarf an 50 R1, 50 R2, 190 R3 Baugruppen und 30 B1, 60 B2, 10 B3 Baugruppen - die B Baugruppen müssen ja auch produziert werden und bilden einen neuen Auftragvektor (für den internen Verbrauch) der den Bedarf an R Baugruppen berechnet, usw, bis alle B Baugruppen produziert worden sind - in Summe - siehe oben

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ich verstehe immer noch nicht ganz wie man auf die linke matrix kommt.. der auftragsvektor ist der rechte vektor, in den ich dann einsetze?

\(\small P_{rb} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\4&0&0&1\\0&3&5&0\\0&1&0&0\\0&0&2&2\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}b1\\b2\\b3\\p\\\end{array}\right)\)

und erhalte dann das?

\(\small \left\{ P_{rb} \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}50\\50\\190\\30\\60\\10\\\end{array}\right)\right\}  \)

was summier ich da auf?

\(\small PP=  P_{rb} \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right) +...+  =  \left(\begin{array}{r}350\\490\\480\\110\\80\\10\\\end{array}\right)  \)

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In Deinen Ausgangsgleichungen sind r1,r2,r3 und b1,b2,b3, also 6 Parameter in 4 Gleichungen enthalten. Wenn man das in eine Matrix überträgt kommt man auf

P_rb

abarbeiten des Auftragsvektors

\(\small P_{rb} \left(\begin{array}{r}10\\30\\20\\10\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}50\\50\\190\\30\\60\\10\\\end{array}\right)   \to \)

benötigt werden noch 30 B1, 60 B2, 10 B3 zur internen Verwendung

\(\small P_{rb} \left(\begin{array}{r}30\\60\\10\\0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}120\\120\\230\\60\\20\\0\\\end{array}\right) \to \)

benötigt werden weitere 60 B1, 20 B2 für interne Verwendung

usw. bis keine B-Baugruppen mehr anfallen - das dann zusammengefasst gibt den Gesamtauftrag über alle R und B Baugruppen...