Sind folgende Abbildungen linear?

Question

Aufgabe:

Sind folgende Abbildungen linear? Falls die Abbildung linear ist, beweisen Sie dies. Falls die Abbildung nicht linear ist, begründen Sie, warum sie nicht linear ist.

a) f: R³ → R² , \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) --> \( \begin{pmatrix} x + 2y + xy +z \\ x + y + z \end{pmatrix} \)

b) f: R3 → R2 , \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} x + 3y + 4z \\ z \end{pmatrix} \)

c) f: R3 → R , \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} x + y + z + 1  \end{pmatrix} \)

d) f: R2--> R2 , \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix}  y \\ x   \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die 2 Eigenschaften (Addition, Multiplikation mit Skalar) gelten müssen, um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist.

Ich weiß aber nicht genau wie ich das angehen soll.

Answer 1

Z.B. bei c) prüfst du, ob gilt:

f(x1,y1,z1) + f(x2,y2,z2) = f(x1+x2, y1+y2, z1+z2)

(Spoiler: Nein)

Comments

Laut meinen Berechnungen sollten a) und c) nicht linear sein. Kann das stimmen?

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Bei a bin ich mir nicht sicher, c ist nicht linear

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Dachte, dass a) nicht linear ist, weil x*y steht

Answer 2

Aloha :)

zu a) nicht linear, denn die Additivität ist verletzt:$$f_a(1;0;0)=\binom{1}{1}\quad;\quad f_a(0;1;0)=\binom{2}{1}\quad;\quad f_a(1;1;0)=\binom{4}{2}\quad\implies$$$$f_a(1;0,0)+f_a(0;1;0)\ne f_a(1;1;0)$$

zu b) linear, denn wir können sofort eine Abbildungsmatrix angeben:$$\binom{x+3y+4z}{z}=\binom{1}{0}x+\binom{3}{0}y+\binom{4}{1}z=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

zu c) nicht linear, denn die Null wird nicht auf die Null abgebildet:$$f_c(0;0;0)=1\ne0$$

zu d) linear, denn wir können wieder eine Abbildungsmatrix angeben:$$\binom{y}{x}=\binom{0}{1}x+\binom{1}{0}y=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\binom{x}{y}$$