Lösung des DGL-Systems komplex bestimmen

Question

Aufgabe:

Man soll alle Lösungen des DGL-Systems bestimmen:

y'=\( \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \)*y+\( \begin{pmatrix} 0  \\  x^2 \end{pmatrix} \)

Für a>0.

Dabei soll man komplex rechnen.

Problem/Ansatz:

Hier weiß ich echt nicht weiter...

Answer 1

Hallo,

Eigenwerte:

\( \begin{pmatrix} a -λ & -1 \\ 1 & a-λ \end{pmatrix} \) =0 -->Determinante

(a -λ)^2  +1=0

λ^2 -2aλ +a^2 +1=0

λ_1,2= a± √(a^2 -a^2 -1)

λ_1,2= a± √-1

λ_1,2= a± i

Eigenvektoren:

\( v_{1}=(-i, 1) \)

\( v_{2}=(i, 1) \)

Ansatz part. Lösung:

yp1= A+B+Cx^2

yp2= a+b+cx^2

y=yh+yp

Comments

Wäre das jetzt nicht die rechnung für eine reelle Lösung?

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Ich habe erhalten:

yh(x)=C₁ e^(a-i)x \( \begin{pmatrix} -i\\1\\ \end{pmatrix} \) +C₂ e^(a+i)x \( \begin{pmatrix} i\\1\\ \end{pmatrix} \)

und das ist komplex.