Für welchen Parameter ist Matrix diagonalisierbbar?

Question

Aufgabe:

in einem Übungsblatt in Lineare Algebra muss ich diese Aufgabe bearbeiten:

Für welche Parameter a Element R ist die Matrix

A= a+2    a

   -a     a-2

über R diagonalisierbar.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine gute Idee wie ich vorgehen könnte. Vielleicht mit dem charakteristischen Polynom.

Vielen Dank schonmal für mögliche Tipps.

Answer 1

Charakteristisches Polynom ist ein guter Anfang. Es ist$$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda E_2)=\det\begin{pmatrix}a+2-\lambda&a\\-a&a-2-\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-2a\lambda+2a^2-4.$$Die Diskriminante von \(p_A\) lautet \(D=16-4a^2\). Unterscheide nun vier Fälle:
\((1)\quad\lvert a\rvert<2\) : Die Diskriminante ist positiv, d.h. \(A\) hat zwei verschiedene Eigenwerte und ist daher diagonalisierbar.
\((2)\quad\lvert a\rvert>2\): Die Diskriminante ist negativ, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt über \(\mathbb R\) nicht in Linearfaktoren, und \(A\) ist nicht diagonalsierbar.
\((3)\quad a=2\) ist doppelter Eigenwert von \(A\). Wegen \(\operatorname{Rang}(A-2E_2)=1\) ist \(A\) nicht diagonalisierbar.
\((4)\quad a=-2\) ist doppelter Eigenwert von \(A\). Wegen \(\operatorname{Rang}(A+2E_2)=1\) ist \(A\) nicht diagonalisierbar.

Comments

Danke das hat mir sehr geholfen:)