Berechnen Sie die Integrale von sin x, x^{1/2}, [x^2 - 2x + x^{-1}] und (e^x/(1+e^x)).

Question

Berechnen Sie folgende Integrale:

a) \( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin x d x \)

b) \( \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { x } d x \)

c) \( \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \left( x ^ 3 \right) - \left( 2 x ^ 2 \right) + 1 } { x } d x \)

d) \( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ x } { 1 + e ^ x } d x \)

Answer 1

f(x) = sin(x)
F(x) = -cos(x)
F(2pi) - F(0) = 0

Achtung: Man integriert hier über eine Nullstelle. Wenn es um die Fläche geht dann darf man nicht über Nullstellen hinweg integrieren.

f(x) = √x
F(x) = 2/3·x^{3/2}
F(1) - F(0) = 2/3

f(x) = (x^3 - 2·x^2 + 1)/x = x^2 - 2·x + 1/x
F(x) = x^3/3 - x^2 + ln(x)
F(2) - F(1) = LN(2) - 2/3 = 0.02648051389

Achtung auch hier integriert man über eine Nullstelle.

f(x) = e^x/(1 + e^x)
F(x) = ln(e^x + 1)
F(1) - F(0) = ln((e + 1)/2) = 0.6201145069

Ich zeichne noch mal die Funktionen mit dem Integral