Zeigen Sie, dass S die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D

Question

Aufgabe:

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Themenbereich Analytische Geometrie:
In einem Freizeitpark steht eine Kletteranlage in Form eines Pyramidenstumpfes mit vier unterschiedlichen Kletterwänden. Der Pyramidenstumpf entsteht aus einer Pyramide, indem diese parallel zur Grundfläche durchgeschnitten und der obere Teil weggelassen wird. Der Pyramidenstumpf hat als Grundfläche das Viereck \( A B C D \) mit \( A(0 / 070), B(6 / 6 / 0), C(0 / 18 / 0) \) und \( D^{\circ}(-8 / 4 / 0) \) und als Deckfläche das Viereck \( A^{*} B^{*} C^{*} D^{*} \) mit \( A^{*}(4 / 1 / 20), B^{*}(7 / 4 / 20) \) und C*(4/10/20) (Koordinatenangaben in Meter)
a) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{S}(8 / 2 / 40) \) die Spitze der ursprünglichen Pyramide ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D*.
c) Zeichnen Sie den Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein.
d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wand \( \mathrm{ABB}^{*} \mathrm{~A}^{*} \) nach außen überhängt.

Problem/Ansatz:

Hallo .

Könnten Sie mir Nr a und b erkären. Ich hatte immer Aufgaben mit quadratischer Grundfläche. Das macht mich verwirrt.

Answer 1

zu c),d)

Lote A',B',C' auf xy-Ebene z=0 ===> A'',B'',C''

HNF Ebene A,B,A'

n:=(B-A)⊗(A'-A)

n:=n/|n|

Abstand A'',B'',C

{n (A''-A),n (B''-A),n (C-A)} = {2.1, 2.1, -12.6}

Negativer Abstand: Punkt liegt entgegen der Richtung von n auf der Seite von C

Positiver Abstand: Punkt liegt in Richtung von n auf der Gegenseite von C

===> A'',B'' liegen außerhalb der Grundfläche - Flächenüberhang

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Ich bedanke mich bei Ihnen.

Answer 2

a) Zeige dass die Gerade durch \(A\) und \(A^*\) und die Gerade durch \(B\) und \(B^*\) sich im Punkt \(S\) schneiden.

b) Der Punkt \(D^*\) liegt auf der Geraden durch \(D\) und \(S\) und hat \(20\) als x₃-Koordinate.

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Vielen Lieben Dank

Answer 3

a)

gAA' = gBB'
[0, 0, 0] + r·([4, 1, 20] - [0, 0, 0]) = [6, 6, 0] + s·([7, 4, 20] - [6, 6, 0]) → r = 2 ∧ s = 2
S = [0, 0, 0] + 2·([4, 1, 20] - [0, 0, 0]) = [8, 2, 40]

b)

D' = [-8, 4, 0] + 1/2·([8, 2, 40] - [-8, 4, 0]) = [0, 3, 20]

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Dankeschön. Das war hilfreich.